Dejemos que $a$ , $b$ , $c$ , $d$ denotan los resultados del alumno en las asignaturas $A$ , $B$ , $C$ y $D$ respectivamente. Entonces $$a + b + c + d = 21 \tag{1}$$ es una ecuación en los enteros no negativos sujeta a las restricciones $a, b, c, d \leq 10$ .
Una solución particular de la ecuación 1 corresponde a la inserción de tres signos de adición en una fila de $21$ los. Por ejemplo, $$1 1 1 1 1 1 + 1 1 1 1 1 1 1 + 1 1 + 1 1 1 1 1 1$$ corresponde a $a = 6$ , $b = 7$ , $c = 2$ y $d = 6$ , mientras que $$1 1 1 1 1 1 1 + 1 1 1 1 1 1 + + 1 1 1 1 1 1 1 1$$ corresponde a $a = 7$ , $b = 6$ , $c = 0$ y $d = 8$ . Así, el número de soluciones de la ecuación 1 es el número de formas en que se pueden insertar tres signos de adición en una fila de $21$ que es $$\binom{21 + 3}{3} = \binom{24}{3}$$ ya que debemos seleccionar qué tres de los $21$ símbolos (tres signos de adición y $21$ ) serán signos de adición.
Sin embargo, debemos excluir las soluciones en las que una o más de las variables superen $10$ . Obsérvese que a lo sumo una de las variables puede superar $10$ desde $2 \cdot 11 = 22 > 21$ .
Supongamos que $a > 10$ . Sea $a' = a - 11$ . Entonces $a'$ es un número entero no negativo. Sustituyendo $a' + 11$ para $a$ en la ecuación 1 da como resultado \begin{align*} a' + 11 + b + c + d & = 21\\ a' + b + c + d & = 10 \tag{2} \end{align*} La ecuación 2 es una ecuación en los enteros no negativos con $\binom{10 + 3}{3} = \binom{13}{3}$ soluciones. Por simetría, también hay $\binom{13}{3}$ soluciones en las que $b$ , $c$ o $d$ supera $10$ . Por lo tanto, hay $$\binom{4}{1}\binom{13}{3}$$ soluciones de la ecuación 1 en la que una de las variables supera $10$ .
Por lo tanto, el número de soluciones de la ecuación 1 en la que ninguna de las variables supera $10$ es $$\binom{24}{3} - \binom{4}{1}\binom{13}{3}$$
