Demostrar que $\operatorname{null} (A)+\operatorname{null} (B)\ge \operatorname{null} (AB)$

Question

Si $A$ y $B$ son $p\times q$ y $q\times r$ matrices, y $null(A)$ denota la nulidad de una matriz $A$ entonces $\operatorname{null} (A)+\operatorname{null} (B)\ge \operatorname{null} (AB)$

No sé cómo empezar a probar esto. Agradecería mucho si alguien me puede ayudar. Gracias.

Answer 1

Es más conveniente trabajar con mapas lineales que con matrices.

Dejemos que $f:\mathbb R^r\to \mathbb R^q$ y $g:\mathbb R^q \to \mathbb R^p$ sean los mapas lineales que $B$ y $A$ representar.

Debe demostrar que $\operatorname{null}(g\circ f)\leq \operatorname{null}(f) + \operatorname{null}(g) $ .

Este es el truco: como $\operatorname{Im}f$ es un subespacio vectorial de $\mathbb R^q$ puede definir lo siguiente mapa lineal :

$h:\operatorname{Im}f\to \mathbb R^p$ tal que $\forall x\in \operatorname{Im}f , h(x)=g(x)$

Simplemente he reducido el dominio de $g$ y mantener la linealidad.

Aplicando el teorema de nulidad de rango a $h$ rendimientos:

$\dim \operatorname{Im}f = \operatorname{rk} h +\operatorname{null} h $

Además, es muy fácil demostrar que $\operatorname{Im}h=\operatorname{Im}g\circ f $

Como resultado, $\dim \operatorname{Im}f = \operatorname{rk}g\circ f +\operatorname{null} h $

Aplicando el teorema de nulidad de rango a $f$ y $g\circ f$ nos lleva a $$\dim \mathbb R^r - \operatorname{null} f = \dim \mathbb R^r - \operatorname{null} g\circ f +\operatorname{null} h $$

Que se convierte en $$\operatorname{null} g\circ f = \operatorname{null} f + \operatorname{null} h $$

Ahora, es trivial ver que $\ker h \subset \ker g$ Por lo tanto $\operatorname{null} h \leq \operatorname{null} g$

Por fin, $$\operatorname{null} g\circ f \leq \operatorname{null} f + \operatorname{null} g $$