Considerar el teorema del binomio

Question

Considerando el teorema del binomio, podemos escribir $$ {(1+x)^n}=\sum_{^{k=0}}^{n}\binom{n}{k}x^k $$ y $$ \frac{(1+x)^n+(1-x)^n}{2}=\sum_{^{k=0}_{k even}}^{n}\binom{n}{k}x^k $$ y $$ \frac{(1+x)^n-(1-x)^n}{2}=\sum_{^{k=0}_{k odd}}^{n}\binom{n}{k}x^k $$

Pero esta es mi pregunta, ¿de dónde viene el 2? y por qué es el 2?

¿Puede alguien responderme?

Answer 1

El otro ingrediente para su identidad es $$(1-x)^n = \sum_{k=0}^n \binom{n}{k}(-x)^k = \sum_{k=0}^n (-1)^k \binom{n}{k}x^k = \sum_{k \text{ even}} \binom{n}{k} x^k - \sum_{k \text{ odd}} \binom{n}{k} x^k.$$ Entonces \begin{align*} (1+x)^n + (1-x)^n & = \sum_{k=0}^n \binom{n}{k}x^k + \sum_{k=0}^n (-1)^k \binom{n}{k}x^k \\ & = \left(\sum_{k \text{ even}} \binom{n}{k} x^k + \sum_{k \text{ odd}} \binom{n}{k} x^k \right) + \left(\sum_{k \text{ even}} \binom{n}{k} x^k - \sum_{k \text{ odd}} \binom{n}{k} x^k \right) \\ & = \sum_{k \text{ even}} \binom{n}{k} x^k + \sum_{k \text{ even}} \binom{n}{k} x^k + \sum_{k \text{ odd}} \binom{n}{k} x^k - \sum_{k \text{ odd}} \binom{n}{k} x^k \\ & = 2 \sum_{k \text{ even}} \binom{n}{k} x^k. \end{align*} Para aislar la suma, divide ambos lados por 2; de ahí sale el factor 1/2.