Dejemos que $f : I = (c,d) \to \mathbb{R}$ sea una función monótona y $-\infty < c < d < +\infty$ . ¿Cómo podemos demostrar que $$\lim_{x \to d} f(x)=\sup\{f(x)\mid x\in{I}\}$$ y $$\lim_{x \to c} f(x)=\inf\{f(x)\mid x\in{I}\}.$$ Creo que podría ser útil crear una secuencia con $\lim_{i\to \infty} z_i=c $ (o $d$ ), pero no sé cómo seguir.
Respuesta
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Esto no es cierto a menos que $f$ está aumentando en $(c,d)$ . Si $f$ es decreciente, entonces $\lim_{x\to d^-}f(x)=\inf f(x)$ y $\lim_{x\to c^+}f(x)=\sup f(x)$ .
Prueba: Supongamos que $f$ está acotado y dejemos que $a=\sup f((c,d))$ y $\epsilon>0$ . Entonces $\exists x_0\in (c,d)$ para que $$f(x_0)+\epsilon>a\Rightarrow -\epsilon<f(x_0)-a<a-f(x_0)<\epsilon$$ Desde $f$ está aumentando $f(x)>f(x_0)$ para $x>x_0$ . Así, $$-\epsilon<f(x)-a<\epsilon\Rightarrow \left|f(x)-a\right|<\epsilon$$ para $x_0<x<d$ . Dejar $\delta=d-x_0$ completa la prueba. Si $f$ es ilimitado la prueba es similar (y más sencilla) pero con $a=+\infty$ .
Nota: Si además $f$ es continua en $(c,d)$ entonces $$f((c,d))=(\lim_{x\to c^+}f(x),\lim_{x\to d^-}f(x))$$
