Demostrar que $A = \left\{ \frac{m}{p^n} \right\}$ es denso en $\mathbb{R}$

Question

Demostrar que el conjunto $A$ definido como sigue, es denso en $\mathbb{R}$ .

$$A = \left\{ \frac{m}{p^n}~|~m \in \mathbb{Z}, n \in \mathbb{N}, p \in \mathbb{N} ~~\text{with} ~~p>1 \right\}. $$

Observación: $A$ es denso en $\mathbb{R}$ si hay algún intervalo abierto $(a, b)$ tiene un elemento de $A$ .

Observación: En el libro de texto del que procede este problema, la convención es que $0 \notin \mathbb{N}$ .

Intento:

Dejemos que $b - a = \varepsilon$ con $\varepsilon > 0$ . Tenemos que demostrar la existencia de algún $\frac{m}{p^n}$ tal que $\frac{m}{p^n} < \varepsilon \forall \varepsilon$ . Así que usando esta desigualdad, tenemos

$$ \frac{m}{\varepsilon} < p^n \tag{1} $$

$$ \left( \frac{m}{\varepsilon} \right)^{1/n} < p \tag {2} $$

Ahora toma cualquier $\varepsilon$ arbitrariamente pequeño. Al establecer $p > \left( \frac{m}{\varepsilon} \right)^{1/n}$ tenemos que $\frac{m}{p^n} < \varepsilon $ y por lo tanto $\frac{m}{p^n} \in (a, b). $

Pensamientos:

Siento que lo que estoy haciendo puede ser incorrecto porque sólo resolví para una variable, $p$ en este caso, y luego se sustituye de nuevo, pero $m$ y $n$ también son variables.

Answer 1

Arreglar cualquier $p \ge 2$ . Entonces, si el conjunto $A_p=\{\frac{m}{p^n}; n \in \mathbb{N}; m \in \mathbb{Z}\}$ es denso, entonces también lo es $A$ , como $A_p \subset A$ . Así que ahora demostramos que $A_p$ es denso. Para ello, basta con demostrar la existencia de unos $m \in \mathbb{Z}$ y $n \in \mathbb{N}$ tal que $a < \frac{m}{p^n} < b$ . [Así que aquí es donde creo que su prueba es enrevesada OP, ¿por qué $\frac{m}{p^n} < b-a$ implican un elemento en $A$ es decir, de la forma $\frac{m'}{p^{n'}}$ entre $a$ y $b$ ?]

En efecto, la existencia de algunos $m \in \mathbb{Z}$ y $n \in \mathbb{N}$ tal que $a < \frac{m}{p^n} < b$ . En efecto, dejemos que $n \in \mathbb{N}$ sea tal que $2p^{-n} < (b-a)$ . [Existe tal $n$ comme $p^n$ va al infinito como $n$ se deduce que $p^{-n}$ va a 0 como $n$ llega al infinito. Así que para cualquier $b$ y $a$ satisfaciendo $b-a > 0$ existe efectivamente un $n$ s.t. $2p^{-n} < (b-a)$ .] A continuación, escribe $a=A/p^n$ y $b=B/p^n$ para un verdadero $A$ y $B$ , donde $n$ se elige de manera que $2p^{-n} < (b-a)$ . Entonces $(b-a)p^n = B-A > 2$ . Así que dejemos $m$ sea un número entero que satisfaga $A < m <B$ ; efectivamente existe un número entero de este tipo $m$ porque $B-A > 2$ entonces $\frac{m}{p^n} \in (a,b)$ .

Answer 2

Sólo porque $\frac{m}{p^n}$ es menor que $\varepsilon$ Eso no significa que $\frac{m}{p^n}$ está dentro $(a,b)$ . Eso sólo te dice que $\frac{m}{p^n}$ está dentro $(0,\varepsilon)$ (suponiendo que $m$ positivo).

Debe elegir $p$ y $n$ tal que $\frac{1}{p^n}<\varepsilon$ . Hay muchas soluciones para esta parte, ya que cualquier $n$ le dará una $p$ de manera similar a su intento.

Entonces se argumenta que algún múltiplo entero de $\frac{1}{p^n}$ aterriza en el interior $(a,b)$ . Hay muchas maneras de hacerlo, pero una de ellas es observar que la colección de todos los $\left(\frac{m-1}{p^n},\frac{m}{p^n}\right]$ portada $\mathbb{R}$ . (Para que quede claro, me refiero a que para los fijos $p$ y $n$ y dejar que $m$ varían a través de $\mathbb{Z}$ .) Así que un intervalo de la forma $\left(\frac{m-1}{p^n},\frac{m}{p^n}\right]$ se cruza con $(a,b)$ . Desde $(a,b)$ es más largo, en realidad al menos dos adyacentes $\left(\frac{m-1}{p^n},\frac{m}{p^n}\right]$ se cruzan con $(a,b)$ y, por tanto, para uno de esos dos valores de $m$ , $\frac{m}{p^n}$ está dentro $(a,b)$ .

Answer 3

Creo que sería más interesante arreglar $p$ porque tal y como está, la cuestión es casi trivial ya que $A$ contiene $\mathbb Q$ .

En efecto, dejemos que $\dfrac uv\in\mathbb Q$ entonces

• si $v=1$ tomar $m=u,\ n=0,\ p=2$
• si $v>1$ tomar $m=u,\ n=1,\ p=v$

Por otro lado, si se fija $p$ entonces se puede demostrar que $A$ es un subgrupo aditivo de $\mathbb R$ .

Supongamos $n_1\le n_2\quad$ entonces $\quad\dfrac{m_1}{p^{n_1}}+\dfrac{m_2}{p^{n_2}}=\dfrac{m_1p^{n_2-n_1}+m_2}{p^{n_2}}=\dfrac{m_3}{p^{n_2}}$ .

Ahora puedes usar que los subgrupos aditivos de $\mathbb R$ son $\alpha\mathbb Z$ o denso : Subgrupo de $\mathbb{R}$ o bien es denso o tiene un elemento menos positivo?

Ahora bien, como $\dfrac 1{p^n}\in A$ y $\lim\limits_{n\to\infty}\frac 1{p^n}=0$ no hay ningún elemento menos positivo, por lo que $A$ es denso.