Efecto del isomorfismo de Thom en la estructura de los módulos de los espectros orientados a n

Question

Esta pregunta está relacionada específicamente con los espectros $X(n)$ utilizado en la prueba de Devinatz, Hopkins y Smith de las conjeturas de nilpotencia, pero también se agradecería cualquier respuesta general en términos del isomorfismo de Thom.

Los espectros $X(n)$ son los espectros de Thom procedentes de los mapas $\Omega SU(n)\to\Omega SU\simeq BU\to BF$ . Decimos que un espectro $E$ tiene una orientación compleja de grado $n$ o es $n$ -orientado, si hay una clase $x\in \tilde{E}^2(\mathbb{C}P^n)$ cuya restricción a $\tilde{E}^2(\mathbb{C}P^1)\cong\pi_0(E)$ es 1 (de forma similar a las orientaciones complejas). Existe una correspondencia de uno a uno entre $n$ -orientaciones de $E$ y mapas de espectro anular $X(n)\to E$ Al igual que en el caso de la orientación compleja. También sabemos que existe un isomorfismo de Thom para tales espectros: $t:E\wedge X(n)\overset{\simeq}\to E\wedge \Omega SU(n)_+$ . No es difícil ver que $X(n+1)$ es $n$ -orientado, con la orientación proveniente de la tomificación del mapa $\Omega SU(n)\to\Omega SU(n+1)$ . Además, $X(n+1)$ es un $X(n)$ -Álgebra. Mi pregunta es si el isomorfismo de Thom respeta o no la estructura del módulo $X(n)\wedge X(n+1)\to X(n+1)$ . Es decir, ¿hay un mapa obvio $X(n+1)\wedge\Omega SU(n)_+\to X(n+1)$ y ¿es su precomposición con el isomorfismo Thom la misma que la acción del módulo dado?

Answer 1

De acuerdo, tal vez estoy siendo ingenuo, pero creo que esta es probablemente una pregunta ingenua. La respuesta puede ser un poco complicada por el hecho de que no tengo ninguna buena manera de dibujar diagramas conmutativos aquí. Además, todo esto está sacado directamente del libro de Mahowald papel sobre el tema y el libro de Eric Peterson notas en ese papel.

Recordemos el mapa de "cizallamiento" para un $H$ -espacio $X$ dado por $\sigma: X\times X\to X\times X$ , $\sigma(x,y)=(x,x^{-1}y)$ . Se trata de una equivalencia homotópica, cuya inversa homotópica viene dada por $(x,y)\mapsto (x,xy)$ Creo que sí. Sin embargo, observe que si componemos con el mapa de multiplicación, no obtenemos los mismos mapas, es decir $(x,y)\mapsto (x,x^{-1}y)\mapsto y$ en lugar de $xy$ . Ahora digamos que tenemos un mapa $f:X\to BF$ . Entonces tenemos unos cuantos mapas flotando por ahí, $ff:X\times X\overset{\mu}\to X\overset{f}\to BF$ cuyo espectro Thom es $Th(f)\wedge Th(f)$ y $f0:X\times X\overset{\sigma}\to X\times X\overset{\mu}\to X\overset{f}\to BF$ cuyo espectro Thom asociado es $Th(f)\wedge \Sigma^\infty_+ X$ . Pero como $\sigma$ es una equivalencia, debemos tener que su Thomificación es una equivalencia, por lo tanto $Th(f)\wedge Th(f)\overset{\sim}{\underset{\sigma}\to}Th(f)\wedge \Sigma^\infty_+X$ es también una equivalencia (induciendo el isomorfismo de Thom). Pero nótese que el mapa $\mu\circ \sigma$ también Thomifies a un mapa $Th(f)\wedge\Sigma^\infty_+\to Th(f)$ . Y, básicamente, dibujando el diagrama conmutativo, verás que esta "acción" de $\Sigma^\infty_+ X$ en $Th(f)$ es lo mismo que ir hacia atrás a lo largo del isomorfismo Thom y luego aplicar la multiplicación.

Espero no estar diciendo ninguna tontería aquí... =P

El caso general de un espectro que es $X(n)$ -o lo que sea, se desprende del hecho de que $\Omega SU(n)\to \Omega SU(n+1)$ es una inclusión (y por tanto podemos factorizar el mapa $\Omega SU(n)\to BF$ a través de $\Omega SU(n)\to\Omega SU(n+1)\to BF$ ).