Se puede modificar el enfoque de la solución vinculada. Tomando prestada la notación de allí, queremos que la matriz resultante $A = (\det V) V \Lambda V^{-1}$ para satisfacer $A^T = A$ y basta con elegir $V$ tal que $V^{-1} = V^T$ , es decir, tal que $V$ es ortogonal. En realidad, esto sólo da $n!$ soluciones sobre $\Bbb Z$ , es decir, las matrices de permutación, y éstas sólo producen matrices diagonales, pero podemos permitirnos trabajar con matrices ortogonales racionales $V$ y luego despejar los denominadores al final. Para $n \geq 2$ hay infinitos de estos, como cualquier triple pitagórico $(a, b, c)$ determina dicha matriz: $$\begin{pmatrix}\frac{a}{c} & -\frac{b}{c} \\ \frac{b}{c} & \frac{a}{c}\end{pmatrix} \oplus I_{n - 2} .$$ Como alternativa, se puede tomar una Reflexión de los propietarios determinado por cualquier vector racional en $\Bbb Q^3$ .
Explícitamente:
- Elige cualquier secuencia $(d_1, \ldots, d_4)$ de enteros no negativos y forman la matriz diagonal $$D := \pmatrix{d_1 & & \\ & \ddots & \\ & & d_4} .$$
- Elija cualquier racional, ortogonal $4 \times 4$ matriz $Q \in SO(4, \Bbb Q)$ .
- Formar la matriz racional $Q D Q^{-1} = Q D Q^T$ y multiplicar por algún múltiplo positivo $m$ del mínimo común denominador de las entradas de dicha matriz. Por construcción, la matriz resultante $A := m Q D Q^T$ es simétrico tiene entradas enteras y valores propios no negativos $md_a$ .
Por ejemplo, consideremos la secuencia $(2, 1, 1, 1)$ y para $Q$ tomemos la matriz anterior dada por la conocida triple pitagórica $(a, b, c) = (3, 4, 5)$ . La computación da $Q D Q^{-1} = \pmatrix{\frac{34}{25} & \frac{12}{25} \\ \frac{12}{25} & \frac{41}{25}} \oplus I_2$ y despejando los denominadores se obtiene una matriz con las propiedades deseadas. $$\pmatrix{34 & 12 & 0 & 0 \\ 12 & 41 & 0 & 0 \\ 0 & 0 & 1 & 0 \\ 0 & 0 & 0 & 1} .$$
