¿Ejemplos de conexiones de Galois?

Question

En TWF semana 201 J. Báez explica los fundamentos de la teoría de Galois, y dice al final :

Pero aquí está el gran secreto: ¡esto no tiene NADA QUE VER con los campos! ¡Funciona para CUALQUIER tipo de artilugio matemático! Si tienes un artilugio pequeño k sentado en un artilugio grande K, obtienes un "grupo de Galois" Gal(K/k) que consiste en simetrías del artilugio grande que fijan todo en el pequeño. Pero ahora viene lo bueno, que además es muy general. Cualquier subgrupo de Gal(K/k) da un gadget que contiene a k y está contenido en K: a saber, el gadget que consiste en todos los elementos de K que están fijados por todo lo que hay en este subgrupo. Y a la inversa, cualquier gadget que contenga a k y esté contenido en K da un subgrupo de Gal(K/k): es decir, el grupo formado por todas las simetrías de K que fijan cada elemento de este gadget.

Aparte de los campos, ¿qué otros "grandes aparatos" pueden describirse de esta manera? ¿Y cuáles son los "pequeños aparatos" correspondientes?

Answer 1

Hay una buena sección sobre las conexiones de Galois en el libro de George Bergman Una invitación al álgebra general y a las construcciones universales (disponible de su página web ). Si quieres aprender más sobre las conexiones de Galois, te recomiendo encarecidamente que leas todo el capítulo (excepto quizás la sección 5.4, que es una completa digresión).

La configuración general es:

Dejemos que $S$ y $T$ sean conjuntos, y que $R\subseteq S\times T$ sea una relación de $S$ a $T$ . Para cualquier $A\subseteq S$ y $B\subseteq T$ , dejemos que $$\begin{align*} A^* &= \{t\in T\mid \forall a\in A (aRt)\}\subseteq T\\ B^* &= \{s\in S\mid \forall b\in B (sRb)\}\subseteq S. \end{align*}$$ Esto nos da dos funciones, una de $\mathcal{P}(S)$ a $\mathcal{P}(T)$ y uno de $\mathcal{P}(T)$ a $\mathcal{P}(S)$ . Las operaciones son:

1. Inversión de la inclusión : si $A\subseteq A'\subseteq S$ y $B\subseteq B'\subseteq T$ entonces $(A')^*\subseteq A^*$ y $(B')^*\subseteq B^*$ .

2. Aumentando: $A\subseteq A^{**}$ para todos $A\subseteq S$ y $B\subseteq B^{**}$ para todos $B\subseteq T$ .

3. Para todos $A\subseteq S$ , $A^{***}=A^*$ para todos $B\subseteq T$ , $B^{***}=B^*$ .

En particular, los mapas $A\mapsto A^{**}$ y $B\mapsto B^{**}$ dan operadores de cierre en $\mathcal{P}(S)$ y $\mathcal{P}(T)$ . Los elementos cerrados de $\mathcal{P}(S)$ son precisamente los conjuntos de la forma $B^*$ los elementos cerrados de $\mathcal{P}(T)$ son precisamente los conjuntos de la forma $A^*$ y el $*$ restringida a conjuntos cerrados da un antiisomorfismo (biyección de orden inverso cuya inversa también es de orden inverso) entre la red completa de ${}^{**}$ -subconjuntos cerrados de $S$ y de $T$ .

Bergman señala:

Una conexión de Galois entre dos conjuntos $S$ y $T$ es especialmente valiosa cuando el ${}^{**}$ -Los subconjuntos cerrados tienen caracterizaciones de interés independiente.

Estos son los ejemplos que da:

1. El "ejemplo clásico". Sea $S$ sea el conjunto subyacente de un campo $F$ , $T$ el conjunto subyacente de un grupo finito $G$ de automorfismos de $F$ . Para $a\in F$ y $g\in G$ , dejemos que $aRg$ significa " $g$ fija $a$ " (es decir, $g(a)=a$ ). El Teorema Fundamental de la Teoría de Galois dice que los subconjuntos cerrados de $F$ son precisamente los subcampos de $F$ que contienen el conjunto $G^*$ y que los subconjuntos cerrados de $G$ son precisamente todos los subgrupos de $G$ .

2. Dejemos que $S$ sea un espacio vectorial sobre un campo $K$ y $T$ el espacio dual $\mathrm{Hom}_K(S,K)$ . Sea $xRf$ significa " $f(x)=0$ ". Los subconjuntos cerrados de $S$ son precisamente los subespacios vectoriales, los subconjuntos cerrados de $T$ son precisamente los subespacios vectoriales que están cerrados en una determinada topología (todos los subespacios cuando la dimensión es finita, pero cuando la dimensión es infinita se obtienen cosas interesantes).

3. Dejemos que $S=\mathbb{C}^n$ (afines complejos $n$ -espacio), y $T=\mathbb{Q}[x_0,\ldots,x_{n-1}]$ el anillo polinómico en $n$ indeterminados con coeficientes racionales. Sea $(a_0,\ldots,a_{n-1})Rf$ media $f(a_0,\ldots,a_{n-1})=0$ . Este es el punto de partida de la geometría algebraica clásica: los subconjuntos cerrados de $\mathbb{C}^n$ son los conjuntos de soluciones de las ecuaciones polinómicas, y la Nullstellensatz caracteriza los subconjuntos cerrados de $T$ como los ideales radicales.

4. Dejemos que $S$ sea un espacio vectorial real de dimensión finita, $T$ el conjunto de pares $(f,a)$ donde $f$ es una función lineal sobre $S$ y $a\in\mathbb{R}$ . Sea $xR(f,a)$ media $f(x)\leq a$ . Los subconjuntos cerrados de $S$ son los conjuntos convexos.

5. Dejemos que $S$ sea un espacio vectorial real de dimensión finita, $T$ el conjunto de funcionales lineales sobre $S$ . Sea $xRf$ media $f(x)\leq 1$ . Los subconjuntos cerrados de cada lado son los subconjuntos convexos que contienen el vector cero.

6. Dejemos que $A$ sea un grupo abeliano (o un módulo sobre un anillo conmutativo) y $S=T=\mathrm{End}(A)$ el anillo de endomorfismos. Sea $sRt$ representan $st=ts$ . Dado un subring $X$ de $S$ , $X^*$ es el conmutador de $X$ un importante subring estudiado por los teóricos de los anillos.

7. Dejemos que $S$ sea un conjunto de objetos matemáticos, $T$ un conjunto de proposiciones sobre objetos de este tipo, y $sRt$ significa "objeto $s$ satisface la proposición $t$ " (para los lógicos, $s\models t$ ). Los subconjuntos cerrados de $S$ son las clases axiomáticas, los subconjuntos cerrados de $T$ son las teorías.

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Añadido. Me parece que Báez se sitúa en un punto intermedio entre la generalidad de las conexiones de Galois y el caso especial de la Teoría de Galois de los campos, al considerar sólo la situación en la que $T$ es un conjunto, $S$ es un subgrupo del grupo de biyecciones $T\to T$ y la relación es $fRt$ si y sólo si $f(t)=t$ . En ese caso, siempre puede dejar que $k=S^*$ y efectivamente se obtiene una correspondencia entre los subconjuntos cerrados de $T$ y los subgrupos cerrados de $S$ (aunque no es necesario que todos los subgrupos sean cerrados; esto ocurre, por ejemplo, en el grupo de Galois de una extensión de campo infinito, donde sólo los subgrupos que son cerrados en la topología profinita corresponden a subcampos de las extensiones).

Answer 2

Si se toma la red de ideales de un anillo $R$ y la red de ideales de $R/\mathfrak{a}$ para algún ideal $\mathfrak{a}$ entonces los mapas $\mathfrak{b}\mapsto\pi(\mathfrak{b})$ y su inversa forman una conexión de Galois monótona entre los ideales de $R$ que contiene $\mathfrak{a}$ y los ideales de $R/\mathfrak{a}$ .

Estoy seguro de que puedes hacer una conjetura similar para el caso de subgrupos de grupos, submódulos de módulos, etc.

Más generalmente, una conexión de Galois entre dos posets $I$ y $J$ no es más que un par adjunto de funtores entre sus correspondientes categorías. Esto permite crear toda una serie de ejemplos.

Answer 3

Dejemos que $(\Omega,\Sigma, \mathbb P)$ sea un espacio de probabilidad y sea $X : \Omega \to \mathbb R$ sea una variable aleatoria. Consideremos la función de distribución acumulativa: $$F_X : [-\infty\,.. \infty] \to [0\,.. 1], x\mapsto \mathbb P (X\leq x)$$

Se trata de un mapa monótono y siempre tiene unión a la izquierda $Q_X$ llamada "función cuantílica" dada por:

$$Q_X : [0\,.. 1] \to [-\infty\,.. \infty] , p\mapsto \inf\{x\in \mathbb R : p< F(x)\}$$

Por ejemplo, la mediana de $X$ sería $Q_X(\frac{1}{2})$ .

Como los adjuntos son únicos (hasta el isomorfismo natural, pero aquí tenemos posets) la función cuantil determina la distribución de $X$ como la CDF, la PDF, la PMF o la función característica.

La función cuantílica también se conoce como "función de distribución inversa", "función inversa generalizada", etc. Por lo que puedo adivinar, simplemente no es bien conocido que esto es simplemente una instancia de una conexión de Galois.

Answer 4

Espacios de cobertura y grupos fundamentales.

Answer 5

Esta página web ofrece una buena lista de ejemplos de conexiones de Galois monótonas y antitonas.