Para que las variables no se pierdan entre las constantes, recomiendo hacer la sustitución $$b \to d \qquad c \to d \tag{1}$$ Entonces el polinomio se reduce a $$6 a^2 d - 13 a d^2 + 6 d^3 = ( 2 a -3 d )( 3 a - 2 d ) d \tag{2}$$ A partir de aquí, podemos intentar restablecer la simetría del polinomio en las variables. Parece que tomando $d \to b$ en el primer factor, y $d\to c$ en el segundo factor es una suposición bastante buena, especialmente si sacamos un negativo del segundo factor ... $$(2 a - 3 d )( 3 a - 2 d) d \quad\to\quad -(2 a - 3 b)(2 c - 3 a) d \tag{3}$$ Si hay algo de justicia la factorización incluiría $2b-3c$ Este factor es ciertamente plausible, ya que, en virtud de la sustitución $(1)$ , $2b-3c \to 2d - 3 d = -d$ (que incorpora ese molesto negativo). Resulta que la factorización es realmente $$(2a - 3 b)( 2b - 3 c)( 2 c - 3 a) \tag{4}$$ y hemos terminado. $\square$
Por supuesto, aquí hubo algo de suerte. Con $b$ y $c$ enmascarado por $d$ , es podría haber sido que el $3d$ en $(2)$ ampliado como $b+2c$ o $2b+c$ o $4b-c$ o, o, o ... . El $2d$ es igualmente ambiguo, al igual que el término final $d$ término. La simetría nos ayuda a descartar estas opciones: como el último factor de $(2)$ implica sólo $d$ ---es decir, sólo $b$ y/o $c$ --- esperamos que cada uno de los dos primeros factores implique como máximo dos variables, $a$ y $b$ o $c$ .
Dicho esto, incluso las consideraciones de simetría no descartan inmediatamente la conjetura alternativa de $d\to c$ en el primer factor y $d\to b$ en el segundo ... $$(2 a - 3 d )( 3 a - 2 d) d \quad\to\quad -(2 a - 3 c)(2 b - 3 a) d \tag{$ 3^\prime $}$$ En este caso, el factor "justicia" sería $2c - 3 b$ para proporcionar un desenmascaramiento perfectamente plausible de $-d$ . Por lo tanto, podríamos haber estado mirando fácilmente a este candidato: $$(2 a - 3 c)(2 b - 3 a)(2 c - 3 b) \tag{$ 4^\prime $}$$ Este resulta ser erróneo. (El $18$ y $-12$ los coeficientes se adjuntan a los términos erróneos).
Por lo tanto, no basta con hacer una conjetura que satisfaga la simetría. Comprueba siempre tu respuesta.
