¿Es el múltiplo escalar de un vector propio también un vector propio para un valor propio concreto?

Question

Estoy trabajando en un problema de mi libro de texto y encontré que $\left(\frac{1}{2}, \frac{1}{2}, 1\right)$ es un vector propio para un valor propio particular de $4$ .

La solución del libro de texto dice que la respuesta es $(1, 1, 2)$ que es sólo $2 \times \left(\frac{1}{2}, \frac{1}{2}, 1\right)$

Answer 1

Sí, lo es. Aquí hay una breve prueba

Tome $Ax = \lambda x$ y multiplicar por el escalar $k$ obtenemos $kAx = k \lambda x$

pero $kAx$ = $A(kx)$ y $ k \lambda x$ = $\lambda (kx)$ por lo que vemos por definición que $kx$ es un vector propio

$$A(kx) = \lambda (kx)$$