Naturaleza creciente de la función inversa

Question

Dejemos que $a+b=k$ donde $a \lt k/2$ y $\frac{d(g(x)}{dx} \gt 0$ si $b-a$ aumenta entonces la cuestión es encontrar cuál de las siguientes opciones es correcta

$$A. \int_0^a g^{-1}(x) dx +\int_0^b g^{-1}(x) dx \text{ increases}$$

$$B. \int_0^a \frac{1}{g^{-1}(x)} dx +\int_0^b \frac{1}{g^{-1}(x)} dx \text{ decreases (given that $ g^{-1}x \neq 0 $ for any x)}$$

$$C. \int _0^a g(x) dx +\int_0^b g(x) dx \text{ increases}$$

Desde $a \lt k/2$ implica $b \gt k/2$ y $g(x)$ es una función creciente si $b$ aumenta o $a$ disminuye. Por lo tanto, ya que $b$ aumenta y $g(x)$ aumenta por tanto $\int_0^b g(x) dx$ aumenta. No he podido concluir nada de esto. Se agradece cualquier ayuda. Gracias.

Answer 1

Si $b-a$ aumenta, $b$ aumenta. $a=k-b$ y $b\gt a$ . Sea

$$I_1=\int_0^{k-b}g(x)dx +\int_0^{b}g(x)dx$$

Está aumentando,

$$\dfrac{dI_1}{db}=-g(k-b)+g(b)=g(b)-g(a)>0$$

porque $g'\gt0\implies g$ es monótonamente creciente.

Ahora,

$$I_2=\int_0^{k-b} \frac{1}{g^{-1}(x)} dx +\int_0^{b} \frac{1}{g^{-1}(x)} dx$$

Disminución de

$$\dfrac{dI_2}{db}= \frac{-1}{g^{-1}(k-b)}+ \frac{1}{g^{-1}(b)}=\frac{1}{g^{-1}(b)}-\frac{1}{g^{-1}(a)}\lt0$$

porque

$\left(\dfrac{1}{g^{-1}}\right)'=-\left(\dfrac{1}{g^{-1}}\right)^2=-(g')^2\lt0$ así es, $(1/g^{-1})'$ es monótonamente decreciente.

$$I_3=\int_0^{k-b}g^{-1}(x)dx +\int_0^{b}g^{-1}(x)dx$$

Está aumentando

$$\dfrac{dI_3}{db}=-g^{-1}(k-b)+g^{-1}(b)=g^{-1}(b)-g^{-1}(a)\gt0$$

porque

$(g^{-1})'=\dfrac{1}{g'}\gt0$ , $g^{-1}$ también es monótonamente creciente.