En la prueba dada aquí, por qué tenemos que tomar $$R=\left(\frac{A}{p}\right)[f^{-1}]$$ y no sólo $$R=\left(\frac{A}{\sqrt{I}}\right)[f^{-1}]?$$
Respuesta
¿Demasiados anuncios?
Cualquiera de las dos formas funciona, pero también de cualquier forma hay que decir algunas palabras más que no se mencionan en la prueba enlazada. La cuestión es que necesitas este anillo $R$ sea distinto de cero, para que tenga un ideal máximo.
Si define $R=(A/p)[f^{-1}]$ , puede probar $R$ es distinto de cero como sigue: $p$ es un ideal primo que no contiene $f$ Así que $A/p$ es un dominio y $f$ es distinto de cero en $A/p$ , por lo que la localización $(A/p)[f^{-1}]$ es distinto de cero.
Si define $R=(A/\sqrt{I})[f^{-1}]$ entonces se puede decir que $A/\sqrt{I}$ es un anillo reducido ya que $\sqrt{I}$ es radical, y $f$ es distinto de cero en $A/\sqrt{I}$ desde $f\not\in\sqrt{I}$ . Desde $A/\sqrt{I}$ se reduce, esto significa que $f$ no es nilpotente en $A/\sqrt{I}$ , por lo que la localización $(A/\sqrt{I})[f^{-1}]$ es distinto de cero.
