Distribución conjunta de X y XY

Question

Supongamos que X e Y, independientes, se distribuyen como Uniforme[0,1].

(Aviso: este se refiere a a un problema de deberes, pero no es en sí mismo un problema de deberes. El problema en sí pide encontrar la densidad condicional de X dado XY=t, es decir $f_{X|XY=t}(x)$ ).

Ahora, procedo utilizando la definición: $$f_{X|XY=t}(x)=\frac{f_{X,XY}(x,t)}{f_{XY}(t)}$$

Ya he calculado la densidad $f_{XY}(t)$ pero me he perdido un poco en el numerador. Estoy tratando de calcular el numerador calculando primero el $F_{X,XY}(x,t)$ y luego diferenciar con respecto a x y t. Ahora, me pregunto si, utilizando la independencia de X e Y, puedo dividir esta densidad conjunta como: $$\begin{align} F_{X,XY}(x,t)=P(X \leq x, XY \leq t) \\ = P(X \leq x, Y \leq \frac{t}{X}) \\ = \int_{t}^{1}P(Y \leq \frac{t}{X}|X=s)P(X=s) ds \\ =\int_{t}^{1}P(Y \leq \frac{t}{s})P(X=s) ds \\ =\int_{t}^{1}\frac{t}{s}ds=-t log(t) \end{align}$$

Pero al diferenciar esto con respecto a x y t se obtiene 0, lo cual sé que es de nuevo incorrecto.

Las áreas de preocupación que he observado mientras trabajaba en el problema son las siguientes:

1. Confusión sobre el uso de la fórmula de división condicional cuando se utilizan FCD en lugar de FDP (¿podemos sustituir los FDP por FCD?)
2. Confusión si el condicionamiento en X=s que uso para dividir las densidades es válido

Si alguien puede señalar el error, se lo agradecería mucho.

Answer 1

1. Utilizando $\mathbb{P}(X = x)$ para denotar la PDF de $X$ es una convención muy mala. Anula el significado de $\mathbb{P}(X = x)$ como probabilidad del evento $\{X = x\}$ y no hay ninguna ventaja clara para hacerlo.

2. No estoy seguro de cómo has llegado a los límites integrales $t$ y $1$ .

Un enfoque sistemático es el siguiente. En primer lugar, utilizando el hecho de que $X$ tiene una distribución continua con la PDF $f_X$ podemos escribir

\begin{align*} \mathbb{P}(X \leq x, XY \leq t) &= \int_{-\infty}^{\infty} \mathbb{P}(X \leq x, XY \leq t \,|\, X = s) f_X(s) \, \mathrm{d}s, \\ &= \int_{0}^{1} \mathbb{P}(X \leq x, XY \leq t \,|\, X = s) \, \mathrm{d}s \end{align*}

donde el segundo paso se desprende de la $X \sim \operatorname{Uniform}([0, 1])$ .

A continuación, vamos a simplificar la probabilidad condicional. Antes de hacerlo, observe que el rango de $(X, XY)$ se encuentra en el triángulo $\mathcal{T} = \{ (x, t) : 0 \leq t \leq x \leq 1\}$ . Por lo tanto, para calcular la PDF conjunta de $(X, XY)$ basta con suponer que $0 < t < x < 1$ . Entonces para $0 < s < 1$ ,

\begin{align*} \mathbb{P}(X \leq x, XY \leq t \,|\, X = s) &= \mathbb{P}(s \leq x, sY \leq t \,|\, X = s) \\ &= \mathbb{P}(s \leq x, sY \leq t) \\ &= \mathbb{P}(s \leq x, Y \leq t/s) \\ &= \begin{cases} 0, & \text{if } s > x; \\ t/s, & \text{if } s \leq x \text{ and }t \leq s; \\ 1, & \text{if } s \leq x \text{ and }t > s. \\ \end{cases} \end{align*}

Si lo conectamos de nuevo, nos lleva a integrar una función definida a trozos, por lo que obtenemos

\begin{align*} \mathbb{P}(X \leq x, XY \leq t) = \int_{t}^{x} \frac{t}{s} \, \mathrm{d}s + \int_{0}^{t} \mathrm{d}s = t \log (x / t) + t. \end{align*}

Diferenciación con respecto a la $x$ y $t$ obtenemos

\begin{align*} f_{X,XY}(x, t) = \frac{\partial^2}{\partial t \partial x}\mathbb{P}(X \leq x, XY \leq t) = \frac{\partial^2}{\partial t \partial x}\left( t \log (x / t) + t \right) = \frac{1}{x}. \end{align*}

Recordamos que este resultado se deriva de la suposición de que $0 < t < x < 1$ . En una forma completa, $f_{X,XY}$ puede escribirse como

$$ f_{X,XY}(x, y) = \begin{cases} \frac{1}{x}, & \text{if } 0 < t < x < 1; \\ 0, & \text{otherwise}. \end{cases} $$