Teorema de límite de Abel

Question

Me gustaría saber si el teorema de límite Abel funciona si el límite es infinito. Dejó la serie $\sum_{k=0}^\infty a_k x^k$ tiene radio de convergencia 1. Asumir más que $\sum_{k=0}^\infty a_k = \infty$. ¿Es cierto que $\lim_{x\to 1^-} \sum_{k=0}^\infty a_k x^k = \infty$? Gracias de antemano por cualquier sugerencia. Me gustaría saber si es verdad, entonces voy a tratar de pensar una prueba yo mismo.

Answer 1

La idea que yo uso aquí es un poco diferente de la respuesta dada por Evan aquí porque no necesito mostrar el radio de convergencia de $\sum_ns_nx^n$$1$.

Suponemos que $\sum_{j=0}^{+\infty}a_j=+\infty$ y denotan $s_n:=\sum_{j=0}^na_j$, con la convención de las $s_{-1}=0$. Entonces $$\begin{align} \sum_{j=0}^Na_jx^j&=\sum_{j=0}^N(s_j-s_{j-1})x^j\\ &=\sum_{j=0}^Ns_jx^j-\sum_{k=0}^{N-1}s_kx^{k+1}\\ &=s_Nx^N+(1-x)\sum_{k=0}^{N-1}s_kx^k. \end{align}$$ Deje $A$ ser un número positivo arbitrario pero fijo. Desde $\sum_{j=0}^{+\infty}a_j=+\infty$, no es un número entero $n_0$ tal que $s_n\geqslant A$ siempre $n\geqslant n_0$. Por lo tanto, para$N\geqslant n_0$$0<x<1$, obtenemos $$\begin{align} \sum_{j=0}^Na_jx^j&\geqslant s_Nx^N+(1-x)\sum_{k=0}^{n_0-1}s_kx^k+(1-x)\sum_{k=n_0}^NAx^k\\ &\geqslant Ax^N+(1-x)\sum_{k=0}^{n_0-1}s_kx^k+Ax^{n_0}(1-x^{N-n_0}). \end{align}$$ Tomando en ambos lados del límite $N\to +\infty$, esto le da $$\sum_{j=0}^{+\infty}a_jx^j\geqslant (1-x)\sum_{k=0}^{n_0-1}s_kx^k+Ax_{n_0},$$ por lo tanto $$\liminf_{x\to 1^-}\sum_{j=0}^{+\infty}a_jx^j\geqslant A.$$ Como $A$ fue arbitraria, hemos alcanzado la quería conclusión.