¿Cómo se produce esta transformación?

Question

$$ ax^2+2hxy+by^2 = a\left(x+ \frac{h}{a}y \right)^2 + \frac{ab-h^2}{a}y^2 $$

¿Cómo paso de la ecuación del lado izquierdo a la ecuación del lado derecho? Mi material de estudio menciona "completar el cuadrado", que conozco pero no puedo entender cómo se aplica a esta ecuación en particular.

Answer 1

1. Factor de salida $a$ Esto dejará $a(x^2+2(h/a)xy + (b/a)y^2)$
2. Para hacer un cuadrado perfecto $(x+v)^2=x^2+2xv+v^2$ así que $2xv$ debe coincidir con su término medio $2hxy/a$ así que dejemos $v=hy/a$ y sumar y restar $v^2$ . Usted obtiene $$a\left(x + \frac{h}{a}y\right)^2 - (hy/a)^2 + (b/a)y^2.$$

¿Puedes terminarlo ahora?

Answer 2

Recuerda la siguiente identidad. $$ a^2+2ab+b^2 =(a+b)^2$$

El proceso se llama completar el cuadrado.

primero dividimos por $a$ para conseguir $$ ax^2+2hxy+by^2 =a(x^2+2(h/a)xy + (b/a)y^2)$$

Luego sumamos y restamos $$ (h/a)^2y^2$$ a los dos primeros términos para hacer un cuadrado perfecto. $$ a(x^2+2(h/a)xy +(h/a)^2y^2 -(h/a)^2y^2 + (b/a)y^2)=$$

$$ a[(x + (h/a)y)^2 -(h/a)^2y^2 + (b/a)y^2)]=$$

$$a\left(a+ \frac{h}{a}y \right)^2 + \frac{ab-h^2}{a}y^2$$

Answer 3

Para completar el cuadrado el coeficiente de $\,x^2$ debería ser uno, así que factor $\,a$ entonces completa el cuadrado de forma normal con el coeficiente de $\,y$ ser $\,\frac{2hx}{a}$

es decir. $\,ax^2+2hxy+by^2 $

$= a(x^2+\frac{2hxy}{a}+\frac{by^2}{a}) $

$= a(x^2+\frac{2hxy}{a}+\frac{by^2}{a}+(\frac{hy}{a})^2-(\frac{hy}{a})^2)$

$ = a\big((x +\frac{h}{a}y)^2 -\frac{h^2y^2}{a^2} + \frac{by^2}{a})$

$ = a\big((x +\frac{h}{a}y)^2 + \frac{bay^2-h^2y^2}{a^2})$

$ = a(x +\frac{h}{a}y)^2 + y^2\frac{ba-h^2}{a}$