Álgebra de Lie semisimple y radical de Jacobson

Question

En la teoría de las álgebras de Lie, el radical $\mathrm{rad} (\mathfrak{g})$ de un álgebra de Lie $\mathfrak{g}$ se define como un (el) ideal soluble máximo de $\mathfrak{g}$ y el álgebra de Lie $\mathfrak{g}$ se dice que es semisimple si $\mathrm{rad} (\mathfrak{g}) = 0$ .

Por otro lado, en la teoría de las álgebras asociativas, el radical de Jacobson $\mathrm{rad} (A)$ de un álgebra $A$ es la intersección de todos los ideales máximos (izquierda) de $A$ y el álgebra $A$ es semisimple si $A$ es artiniano y $\mathrm{rad} (A) = 0$ .

(Un álgebra semisimple es un módulo semisimple (suma directa de módulos simples) sobre sí mismo).

Entonces, me surgen dos preguntas:

• Es el álgebra universal envolvente $U (\mathfrak{g})$ ¿Artiniano?
• Coinciden estos dos tipos de semisimplicidad; es decir, $\mathfrak{g}$ es semisimple si $U (\mathfrak{g})$ es semisimple?

Si no es así, ¿en qué circunstancias podemos deducir la equivalencia de la semisimplicidad?

Answer 1

En un comentario a su respuesta a la pregunta relacionada Vínculos entre las álgebras de Lie y la teoría de los anillos Qiaochu Yuan señala el breve artículo de Erazm J. Behr, Radical de Jacobson de álgebras filtradas (Proc. AMS 98(4), 1986) que muestra que el radical de Jacobson del álgebra envolvente universal $U(\mathfrak{g})$ sólo depende del "anillo base (!)" del álgebra de Lie $\mathfrak{g}$ . Más concretamente, se muestra:

Dejemos que $L$ sea un álgebra de Lie sobre un anillo unital conmutativo $R$ . Entonces el radical de Jacobson de $U_R(L)$ (el álgebra universal envolvente de $L$ visto como un $R$ -) está generada por $Nil(R)$ el nilradical de $R$ .

En particular, si nuestra álgebra de Lie está definida sobre alguna campo (o simplemente dominio integral) $K$ entonces $Jac(U(\mathfrak{g}))=0$ ¡automáticamente! (El artículo atribuye este resultado a un trabajo anterior de R. S. Irving).

Esto implica, en particular, que el radical de Jacobson de $U(\mathfrak{g})$ no tiene prácticamente nada que ver con el radical teórico de Lie de $\mathfrak{g}$ .

En cuanto a la propiedad de ser artiniano, un contraejemplo obvio está dado por las álgebras de Lie abelianas $\mathfrak{a}$ (sobre un campo $K$ ): Para estos, es bien sabido que $U(\mathfrak{a})$ es isomorfo a un anillo polinómico en $\dim_K \mathfrak{g}$ variables sobre $K$ . En particular, estos anillos no son artinianos a menos que $\mathfrak{g} = 0$ .

Si no me equivoco, aquí no necesitamos la abelianidad, pero con un arma más grande obtenemos un resultado mucho más fuerte: Si $0 \neq x \in \mathfrak{g}$ entonces por Poincare-Birkhoff-Witt $R:=U(\mathfrak g)$ contiene la cadena infinita de ideales de izquierda $Rx \supsetneq Rx^2 \supsetneq Rx^3 \supsetneq ...$ .

A favor: Si $\mathfrak{g} \neq 0$ es cualquier álgebra de Lie sobre un campo, $U(\mathfrak g)$ es nunca artiniano pero siempre Jacobson-semisimple .