Encontrar el campo de velocidad de una burbuja esférica en un fluido incompresible

Question

Tengo la siguiente pregunta:

Una burbuja esférica en un fluido incompresible de densidad $\rho$ tiene un radio $a(t)$ . Escribe una expresión para el campo de velocidad en un radio $R > a$ . La presión lejos de la burbuja es $p_{\infty}$ . ¿Cuál es la presión en el radio $R$ ?

Lo que sé:

1. Sé que la velocidad es esféricamente simétrica, por lo que $u=u(r)$ en la dirección radial.

2. Entonces $u=\frac{da}{dt}$ en $r=a$ (1), y $u \to 0$ como $r\to\infty$ (2)

Los problemas que estoy teniendo:

1. ¿Qué estamos resolviendo aquí? ¿Se trata de un flujo potencial (y por qué)? Si es así, tenemos que encontrar el potencial de velocidad $\phi$ tal que $\nabla^2 \phi = 0$ . ¿Cómo traduzco entonces (2) en una condición de contorno sobre $\phi$ ?

2. Además, no puedo visualizar lo que está sucediendo físicamente. Tenemos una burbuja que aumenta o disminuye de tamaño, ¿qué podría causar esto?

Answer 1

Lo que creo que es cierto:

La burbuja cambia de forma con simetría esférica, por lo que el flujo es irrotacional, y existe un potencial de velocidad.

Resolvemos este problema utilizando la conservación de la masa en la frontera $r=R>a$ y en $r=a$ . Por conservación de la masa:

$4\pi r^2*u(r)=4\pi a^2 *\dot{a}$ $\implies u(r)=\frac{a^2 \dot{a}}{r^2}$

Entonces el potencial de velocidad es:

$\phi=-\frac{a^2 \dot{a}}{r}$

y utilizamos el teorema de Bernoulli para el flujo estacionario en $r=R>a$ y en el infinito para encontrar una expresión para la presión.

En cuanto a la contracción o expansión de la burbuja (sin tener en cuenta la subida de la burbuja), es obvio que esto puede ocurrir si tenemos una burbuja en un recipiente y comprimimos o expandimos el tamaño del mismo. Esto cambia la presión en el interior del recipiente, por lo que la burbuja se encoge o se expande en consecuencia para equilibrar las fuerzas de presión del exterior del recipiente. En este caso, decimos que ocurre algo similar con la burbuja que responde a $p_\infty$ la presión en el infinito, y de hecho para ciertas condiciones, la presión en la superficie de la burbuja puede ser igual a $p_\infty$ para siempre.