Inyección compacta de $W^{1,p}(I)$ en $L^\infty(I)$ para un límite de $I$

Question

Brezis dice que para un intervalo abierto acotado $I$ la inyección $W^{1,p}(I) \subset L^\infty(I)$ es continua para todo $1 \leq p \leq \infty$ la inyección $W^{1,p}(I) \subset C(\bar{I})$ es compacto para $1 < p \leq \infty$ .

¿Implica esto la inyección $W^{1,p}(I) \subset L^\infty(I)$ ¿también es compacto? Las dos cuestiones son que la primera inyección compacta es en $C(\bar{I})$ no $C(I)$ y que la inyección no sea en $L^\infty(I)$ .

Answer 1

Dado que los valores de una función continua en un conjunto abierto determinan los valores en el cierre, la restricción a $I$ proporciona una inyección natural $C(\bar I) \hookrightarrow L^\infty (I)$ . Como utilizamos la norma sup para ambos espacios, este mapa es continuo. Si lo componemos con la incrustación compacta $W^{1,p} \hookrightarrow C(\bar I)$ da una incrustación compacta $W^{1,p} \hookrightarrow L^\infty (I)$ .