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Demostración de la identidad que relaciona la función de conteo de primos y los números de Stirling del segundo tipo

En su famoso artículo de 1973 papel Gallagher demostró que la distribución de números primos en intervalos cortos tiende a una distribución de Poisson. Para ello utiliza en un solo paso: $$\sum_{n \leq N}(\pi (n+h)-\pi(n))^{k}=\sum_{r=1}^{k} \sigma (k,r) \underset{distinct}{\sum_{1 \leq d_{1}< \dots <d_{r} \leq h}} \pi(N; \left \{ d_{1},d_{2},\dots,d_{r} \right \})$$

Donde $\sigma (k,r)$ son los números de Stirling del segundo tipo y $\pi(N; \left \{ d_{1},d_{2},\dots,d_{r} \right \}$ cuenta los diferentes enteros $x\leq N$ tal que $\{x,x+d_{1},\dots,x+d_{r}\}$ son simultáneamente primos. Tengo entendido que ha utilizado $\sum_{k=0}^n \sigma (n,k)(x)_{k}=x^{n}$ . Donde $(x)_{k}$ es el factorial descendente. Sin embargo, no entiendo por qué la identidad es verdadera. ¿Algún consejo?

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Phicar Puntos 937

En el documento hay un paso intermedio, principalmente que $$\sum _{n\leq N}\left (\pi (n+h)-\pi (n)\right )^k=\sum _{n\leq N} \sum _{n<p_1,\cdots ,p_k\leq n+h}1,$$ este paso lo que hace es simplemente reescribir la comprensión de $(\pi (n+h)-\pi (n))^k$ como $k$ elección de los primos (es decir, $p_1,p_2,\cdots ,p_k$ ) en el medio $n+1$ y $n+h$ de forma inclusiva. Ahora bien, se puede argumentar que algunos de estos primos no tienen por qué ser diferentes, y entonces lo que se quiere es tener en cuenta cuando no son el mismo primo. Así que digamos que existe una partición $\sigma \vdash [k]$ de tal manera que $p_i=p_j$ si $i,j$ están en el mismo bloque de la partición, de esta manera podemos considerar ahora diferentes primos. El número de tales particiones son los números de Stirling del segundo tipo y la forma de elegir diferentes números es notando que si $p_1< p_2<\cdots <p_r$ entonces hay un número creciente $d_1,d_2,\cdots , d_r$ tal que $p_1=n+d_2,p_2=n+d_2,\cdots , p_r=n+d_r.$

Moralmente: Esta ecuación no es más que la factorización de las elecciones de los primos entre una partición y una elección inyectiva de los primos. (que es la interpretación combinatoria de la ecuación que usted proporciona).

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