En su famoso artículo de 1973 papel Gallagher demostró que la distribución de números primos en intervalos cortos tiende a una distribución de Poisson. Para ello utiliza en un solo paso: $$\sum_{n \leq N}(\pi (n+h)-\pi(n))^{k}=\sum_{r=1}^{k} \sigma (k,r) \underset{distinct}{\sum_{1 \leq d_{1}< \dots <d_{r} \leq h}} \pi(N; \left \{ d_{1},d_{2},\dots,d_{r} \right \})$$
Donde $\sigma (k,r)$ son los números de Stirling del segundo tipo y $\pi(N; \left \{ d_{1},d_{2},\dots,d_{r} \right \}$ cuenta los diferentes enteros $x\leq N$ tal que $\{x,x+d_{1},\dots,x+d_{r}\}$ son simultáneamente primos. Tengo entendido que ha utilizado $\sum_{k=0}^n \sigma (n,k)(x)_{k}=x^{n}$ . Donde $(x)_{k}$ es el factorial descendente. Sin embargo, no entiendo por qué la identidad es verdadera. ¿Algún consejo?