Una versión no lineal del isomorfismo de Riesz

Question

La presente pregunta se refiere a la demostración del siguiente teorema que se encuentra en la obra de Adams Espacios de Sobolev , §2.30 - 2.33. Aquí $(\Omega, \mathcal{M}, \mu)$ denota un espacio de medidas arbitrario y $L^p$ siempre es sinónimo de $L^p(\Omega)$ .

Teorema de la representación de Riesz Dejemos que $1<p<\infty$ y que $p'=p/(p-1)$ . Para cualquier $v \in L^{p'}$ denotan $L_v$ para ser el funcional lineal en $L^p$ definido por la siguiente ecuación: $$\langle L_v, w\rangle =\int_{\Omega} vw\, d\mu.$$ Entonces el mapeo $v\mapsto L_v$ es un isomorfismo isométrico de $L^{p'}$ en $[L^p]^\star$ .

Lo más interesante de probar es que este mapeo $L$ es suryectiva, lo cual, hasta donde yo sé, suele hacerse mediante el teorema de Radon-Nikodym de la teoría de la medida. Por el contrario, el libro de Adams emplea la convexidad uniforme de $L^p$ espacio y dos de las cuatro desigualdades de Clarkson, precisamente: $$\tag{38} \forall u, v \in L^p, 2\le p <\infty,\quad \left\lVert \frac{u+v}{2}\right\rVert_p^{p'}+\left\lVert \frac{u-v}{2}\right\rVert_p^{p'}\ge\left( \frac{1}{2}\lVert u \rVert_p^p+\frac{1}{2}\lVert v\rVert_p^p\right)^{p'-1}, $$ $$\tag{40} \forall u, v \in L^p, 1< p \le 2,\quad \left\lVert \frac{u+v}{2}\right\rVert_p^{p}+\left\lVert \frac{u-v}{2}\right\rVert_p^{p}\ge \frac{1}{2}\lVert u \rVert_p^p+\frac{1}{2}\lVert v\rVert_p^p. $$ Su prueba sigue esos pasos:

1. Debido a la convexidad uniforme, existe un mapa de dualidad $$\left[ F\in \left( L^p\right)^\star \right] \to \left[\text{the unique}\ w\in L^p\ \text{s.t.}\ \lVert w\rVert_p=\lVert F \rVert_\star\ \text{and}\ \langle F, w\rangle=\lVert F\rVert_\star^2\right].$$
2. El mapa de dualidad tiene una inversa izquierda explícitamente conocida $$\left[ L_v\in (L^p)^\star\ \text{where}\ v=\frac{\lvert w\rvert^{p-1}\text{signum}(w)}{\left(\int \lvert w\rvert^p\,d\mu\right)^{\frac{p-2}{p}}}\right] \leftarrow \left[ w\in L^p\right].$$
3. Debido a las desigualdades (38) y (40), el mapa de dualidad es inyectivo.

Esto significa que el mapeo de dualidad es biyectivo y por lo tanto, en particular, que cualquier funcional lineal $T$ es de la forma $L_v$ que es lo que Adams quería demostrar.

Sin embargo, me parece que en realidad demostró mucho más que eso: a saber, esta prueba introduce el mapeo de dualidad, que es (hasta donde puedo entender) una generalización del isomorfismo de Riesz entre un espacio de Hilbert y su dual. Además, parece que este mapeo sólo depende de algunas propiedades fácilmente generalizables de $L^p$ como la convexidad uniforme. Así que:

Pregunta ¿Cuánto se sabe sobre el mapa de dualidad en un espacio de Banach abstracto? ¿Cuáles son las hipótesis mínimas que garantizan su existencia? ¿En qué espacios tiene una expresión analítica explícita?

Gracias por leer.

Answer 1

Para todo espacio normado $X$ se tiene la dualidad con su dualidad a través de $$ \langle\cdot,\cdot\rangle: X\times X^*\to\mathbb{C}:(x,f)\mapsto f(x) $$ Esta dualidad es bilineal, y lo que es más $$ \Vert x\Vert=\sup\{|\langle x, f\rangle|: f\in X^*,\;\Vert f\Vert\leq 1\}\qquad \Vert f\Vert=\sup\{|\langle x, f\rangle|: x\in X,\;\Vert x\Vert\leq 1\} $$ Así pues, la dualidad buena siempre existe, la cuestión es la descripción explícita de $X^*$ . El problema de la descripción completa de los duales de los espacios normados parece no tener solución. Pero para la mayoría de los espacios comunes existen algunos. He aquí algunos de ellos

Dejemos que $(\Omega,\Sigma,\mu)$ sea un espacio de medidas, entonces $$ L_p(\Omega,\Sigma,\mu)^*= \begin{cases} L_{p/(p-1)}(\Omega,\Sigma,\mu)\quad&\text{ if }\quad p\in(1,+\infty)\\ L_{\infty}(\Omega,\Sigma,\mu)\quad&\text{ if }\quad p=1\\ \mathrm{ba}(\Omega,\Sigma,\mu)\quad&\text{ if }\quad p=\infty \end{cases} $$ donde $\mathrm{ba}(\Omega,\Sigma,\mu)$ es un espacio de medidas limitadas con signo finitamente aditivo en $(\Omega,\Sigma,\mu)$ .

Dejemos que $\Omega$ sea un espacio normal, entonces $$ C(\Omega)^*=\mathrm{rba}(\Omega) $$ donde $rba(\Omega)$ es un espacio de medidas regulares limitadas de valor complejo finitamente aditivo sobre un álgebra generada por conjuntos cerrados .

Dejemos que $\Omega$ sea un espacio Hausdorff localmente compacto, entonces $$ C(\Omega)^*=\mathrm{rca}(\Omega) $$ donde $\mathrm{rca}(\Omega)$ es un espacio de regular acotado $\sigma$ -medidas complejas aditivas de Borel en $\Omega$ .

Las pruebas de estos resultados se pueden encontrar en Operadores lineales, teoría general por N. Dunford, J. T. Schwartz

Existe un análogo no conmutativo para $L_p$ dualidad. Sea $H$ , $K$ sean espacios de Hilbert, entonces $$ S_p(H,K)^*= \begin{cases} S_{p/(p-1)}(K,H)\quad&\text{ if }\quad p\in(1,+\infty)\\ \mathcal{B}(K,H)\quad&\text{ if }\quad p=1\\ S_{\infty}(K,H)\quad&\text{ if }\quad p=\infty \end{cases} $$ Donde $S_p(H,K)$ es $p$ -los operadores de la clase Shatten .

Siéntase libre de añadir otras dualidades aquí.