En la prueba de
Para un adecuado conectado reducido $k$ -sistema $X$ , $\mathscr{O}_X(X)$ es un campo de grado finito sobre $k$ .
Me enfrento al siguiente lema
Es $K$ , un finito reducido $k$ -cuya espectro es el siguiente $\operatorname{Spec}K$ está conectado, un campo?
Por una proposición que he mostrado, tengo $\mathscr{O}_X(X)$ es un finito reducido $k$ -y el álgebra, y $\operatorname{Spec}\mathscr{O}_X(X)$ está conectado.
Así que queda por demostrar el lema.
Por favor, ayuda.
Un finito $k$ -Álgebra $K$ es artiniano, por lo que el espectro está formado por un número finito de ideales maximales (= puntos cerrados). Por tanto, la topología es discreta. Un espacio discreto conectado es un singleton, es decir $K$ sólo tiene un ideal máximo, que es también el radical nulo. Pero el radical nulo es cero por suposición, es decir $K$ es un campo.
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