La dificultad surge al tratar de imponer condiciones de contorno periódicas. Nos gustaría exigir que $\theta(0) = \theta(L)$ , donde $L$ es la longitud del sistema. Pero como las fases sólo se definen hasta múltiplos de $2 \pi$ En realidad, sólo exigimos que $\theta(0) = \theta(L) + 2 \pi n$ para algún número entero $n$ . Por lo tanto, el operador de fase puede ser multivaluado, siempre que todos los diferentes valores difieran en múltiplos de $2 \pi$ . Esto dificulta su formalización matemática. Técnicamente, la sutileza con las condiciones de contorno significa que $\theta(x)$ no puede ser un "operador autoadjunto". Es es Hermitiana, pero para los espacios de Hilbert de dimensión infinita, la autounión es en realidad una condición estrictamente más fuerte que la Hermiticidad, y se requiere para todas las buenas propiedades que nos gustaría (por ejemplo, tener sólo valores propios reales). La naturaleza sutil del dominio de la $\theta$ operador es la razón por la que la aplicación ingenua de la relación de incertidumbre no funciona.
Por ejemplo, nos gustaría poder integrar libremente por partes y despreciar los términos de frontera, pero las condiciones de frontera en $\theta$ significa que debemos tener cuidado con la posibilidad de que el término de frontera contribuya realmente a un múltiplo de $2 \pi$ . Esto se debe a que $d\theta$ es un forma diferencial exacta pero no cerrada con una cohomología de Rahm no trivial, lo que es posible porque está definida en una variedad de espacio real no simplemente conectada.
Hay una discusión detallada de estas sutilezas aquí . Resulta que mientras $\theta(x)$ no puede convertirse en un operador autoadjunto, $\sin(\theta)$ y $\cos(\theta)$ puede, por lo que si sólo se trabaja con esos operadores, todo funciona más o menos bien. Aquí es una discusión más corta y algo más elemental de cómo diferentes operadores autoadjuntos que extienden el mismo operador Hermitiano pueden llevar a la física observablemente diferente.
