¿Probar que ese límite no existe en ninguna parte?

Question

Estoy haciendo algunos problemas de práctica y estoy teniendo problemas para responder a estos problemas:

Considere la siguiente función $$f(x)=\begin{cases}1, & \text{if } x\in \Bbb Q\\ -1, & \text{if } x\in \Bbb R\backslash \Bbb Q. \end{cases}$$ Demuestra que ese límite no existe en ninguna parte.

Answer 1

Tenemos que $$ \lim_{x\to a} f(x)=L $$ si y sólo si para cada $\varepsilon>0$ existe $\delta>0$ de manera que si $|x-a|<\delta$ entonces $|f(x)-L|<\varepsilon$ . Demostramos que esto es falso. Sea $\varepsilon =1/2$ y asumir que es verdad. Ya que para cualquier $\delta>0$ hay infinitos números racionales e irracionales en el intervalo $I_\delta:=(a-\delta,a+\delta)$ entonces siempre podemos encontrar $y\in I_\delta \cap \Bbb Q$ , $z\in I_\delta \cap (\Bbb R \backslash \Bbb Q)$ . Entonces, tenemos que $$ |f(y)-L|=|1-L|<1/2, $$ $$ |f(z)-L|=|-1-L|<1/2, $$ lo cual es una contradicción, ya que no hay ningún número $L\in \Bbb R$ tal que $d(L,1)<1/2$ , $d(L,-1)<1/2$ .

Answer 2

Sugerencia : $\mathbb Q$ es denso en $\mathbb R$ , es decir, en cada vecindad de algún número real $a$ Hay infinitos números racionales e irracionales. Ahora, usa el $\epsilon$ - $\delta$ -formalismo para obtener una contradicción.

Answer 3

Para cada $x\in \mathbb{R}$ podemos encontrar la secuencia $z_k\to x$ , de tal manera que $z_k\in \mathbb{Q}$ y $y_k\to x$ , de tal manera que $y_k\in \mathbb{R}\setminus \mathbb{Q}$ .

Podemos concluir que $f(z_k)\to 1$  pero $f(y_k)\to -1$ ese límite no existe para ningún $x\in \mathbb{R}$ .

Answer 4

En cualquier barrio, se encuentran tanto $f(x)=-1$ y $f(x)=1$ el alcance de la función no disminuye.