Si las tasas de cambio instantáneas no son tan rigurosas, ¿hasta qué punto es correcto el uso de las tasas de cambio instantáneas (como la velocidad) por parte de los físicos?

Question

Según esto respuesta Los tipos de cambio instantáneos son más intuitivos que rigurosos.

Tiendo a estar de acuerdo con esa respuesta porque, en el artículo de Wikipedia sobre cálculo diferencial No están definiendo la derivada como la pendiente en un punto determinado. La definen como: "La derivada de una función en un valor de entrada elegido describe la tasa de cambio de la función cerca de ese valor de entrada". Aunque esto no es incorrecto, la definición se ha escrito de forma bastante segura, y creo que fue intencionada. No la han definido como la pendiente de la gráfica en un punto concreto. Sólo está en el explicaciones sección del Derivado artículo de la wiki que lo hicieron: "La derivada de una función y = f(x) de una variable x es una medida de la tasa a la que el valor y de la función cambia con respecto al cambio de la variable x. Se llama la derivada de f con respecto a x. Si x e y son números reales, y si la gráfica de f se traza contra x, La derivada es la pendiente de esta gráfica en cada punto. "

Entonces, ¿los físicos utilizan términos como "velocidad instantánea" simplemente desde un punto de vista intuitivo? ¿Cuál es el significado físico de las tasas de cambio instantáneas?

Answer 1

Está perfectamente bien utilizar la intuición en la aplicación de las matemáticas, sólo que en las propias matemáticas queremos definiciones rigurosas para poder demostrar realmente las cosas. Buscamos definiciones que formalicen nuestra intuición sobre algo.

Basta con considerar el sencillo ejemplo de hallar la derivada de $f(x) = x^2$ . Usando la "definición intuitiva" no está realmente claro que esto deba ser igual a $2x$ . Por supuesto, se pueden ver algunos ejemplos y extrapolar a partir de ellos que debería ser cierto, pero ¿cómo se puede estar realmente seguro? En cambio, la definición "dura" (que también puede considerarse bastante intuitiva) permite construir directamente la derivada.

El enfoque que los matemáticos adoptan a menudo es tomar algún concepto, establecer qué propiedades debe tener, intentar formalizarlas y ver si la cosa resultante:

• ya "clava" un concepto lo suficientemente bien o si todavía es demasiado general
• se ajusta a nuestra intuición.

Así que definimos el concepto matemático de derivada de la forma en que lo hicimos, porque corresponde a nuestra noción intuitiva de tasa de cambio y, por tanto, debería ser aplicable en circunstancias en las que se pide lo intuitivo.

Cuando se aplican las matemáticas en la física, la ingeniería, etc., siempre hay que considerar, por supuesto, si tiene sentido modelo algún fenómeno de la vida real a través de la versión matemática idealizada: ¿Qué suposiciones se incluyen en una derivada? ¿Son compatibles con el mundo real? Seguramente se necesita alguna noción de continuidad para una derivada. ¿Es el mundo real continuo? Realmente no lo sabemos, y por lo visto (no soy físico) nunca podremos averiguarlo. Por eso la física es algo más que construir teorías: también tenemos que hacer experimentos para ver si nuestra teoría se corresponde con el mundo real hasta un margen de error aceptable. Y a juzgar por los experimentos y por el éxito que tenemos en la modelización del mundo real mediante el cálculo diferencial, parece que utilizar la intuición de las derivadas en el mundo real no es totalmente erróneo.

Answer 2

1. No estoy de acuerdo con la respuesta citada en su primera línea: "tasa de cambio instantánea de cambio". hace tienen un significado formal. El hecho de que un concepto se defina con referencia a los detalles de su barrio no significa que la idea/concepto sea difusa o informal.

   Tasa de cambio instantánea $(R)$ en $q$ es groseramente análoga a la país de nacimiento $(N)$ de $p:$ Claro, los barrios de $q$ y $p$ existe independientemente de $q$ y $p,$ pero esto no no quita que los valores de $R$ y $N$ en $q$ y $p,$ respectivamente, depende -de hecho, son definido en función de los respectivos barrios de $q$ y $p.$ Las definiciones de $R$ y $N$ son rigurosos, precisos e inequívocos.

2. Está de acuerdo en que para un coche que se mueve a una velocidad constante $70\mathrm{km/h}$ velocidad, su velocidad instantánea en $t=100\mathrm s$ rigurosamente y con precisión equivale a $70\mathrm{km/h}.$

   Es de suponer que también está de acuerdo en que, aunque el coche viajara a velocidad variable, sigue teniendo alguna velocidad instantánea en $t=100\mathrm s.$

   Si es así, su pregunta es: ¿es la formalización de la "velocidad instantánea" (tasa de cambio, derivada) algo arbitrario para captar la actual ¿velocidad instantánea? Yo diría que sí, "con precisión" y -a riesgo de sonar circular- definitivamente reflejan la realidad.

Answer 3

No es que no sean rigurosos, es que los libros de cálculo, como es habitual, no se preocupan necesariamente de hacer las distinciones pertinentes para que sea totalmente riguroso. Lo hacen en puede se haga rigurosa.

Una cosa que yo argumentaría es que la "tasa de cambio instantánea" es algo que se puede definir como formalmente equivalente a, pero conceptualmente distinta de La derivada, siendo la derivada más general. Una derivada, en el caso de una función de una variable real, es una cierta cantidad que caracteriza el comportamiento local de dicha función en torno a un punto de entrada y cómo responde a pequeños cambios en esa entrada o, mejor, cómo difiere su salida cuando se consideran valores de entrada ligeramente diferentes de una entrada concreta y se compara con el valor que alcanza en esa entrada concreta.

La razón por la que digo esto es porque el concepto de "tasa de cambio" presupone implícitamente un flujo de tiempo y no todas las derivadas implican tiempo.

La derivada de $f$ en $a$ se define por

$$f'(a) := \lim_{\Delta x \rightarrow 0} \frac{f(x + \Delta x) - f(x)}{\Delta x}$$

como ya sabes.

Pero ahora para el tipo de cambio instantáneo. Analizando este término, lo ideal sería decir que, para que la intuición sea rigurosa, deberíamos definir tanto lo que es una "tasa de cambio" como, además, lo que significa que esa tasa sea "instantánea".

¿Y cómo lo hacemos? Analizando el término más a fondo, vemos que tenemos que definir "cambio" y "tasa". El cambiar - antes de llegar a "tasa de" - de una cantidad que varía temporalmente desde el tiempo $t_1$ al tiempo $t_2$ dada como una función $f$ del tiempo, se define así por

$$\text{Change in $ f(t) $ from time $ t_1 $ to time $ t_2 $} := f(t_2) - f(t_1)$$

es decir, el cambio es sólo una sustracción (diferencia). El tasa de cambio entonces, es el relación de dos cambios (nótese que el "cambio en el tiempo" puede entenderse como el cambio de la función identidad del tiempo, por lo que no necesitamos otra definición):

$$\text{Rate of change of $ f(t) $ from time $ t_1 $ to time $ t_2 $} := \frac{\text{Change in $ f(t) $ from time $ t_1 $ to time $ t_2 $}}{\text{Change in time from $ t_1 $ to $ t_2 $}}$$

de lo que se desprende que

$$\text{Rate of change of $ f(t) $ from time $ t_1 $ to time $ t_2 $} = \frac{f(t_2) - f(t_1)}{t_2 - t_1}$$

Entonces, ¿cuál es el instantánea ¿la tasa de cambio? Lógicamente, es la tasa de cambio en un solo instante, es decir, cuando $t_1 = t_2 = t_a$ en un instante determinado $t_a$ . Sin embargo, no podemos conseguirlo con la definición anterior porque obtenemos un error de división por 0. En su lugar, lo que debemos hacer es utilizar un límite para rellenarlo - en particular, debemos tomar el siguiente límite bidimensional:

$$\text{Instantaneous rate of change of $ f $ at $ t_a $} := \lim_{(t_1, t_2) \rightarrow (t_a, t_a)} \frac{f(t_2) - f(t_1)}{t_2 - t_1}$$

donde sólo se consideran los puntos $t_1$ y $t_2$ de manera que ambos $t_1 \le t_a \le t_2$ es decir, los intervalos de cambio "encierran" nuestro punto deseado $t_a$ y $t_1 \ne t_2$ . Entonces tenemos

Teorema: Si el IRoC de $f$ existe en $a$ , entonces es igual a $f'(a)$ .

Answer 4

Creo que no te has dado cuenta de que la "pendiente de $f$ en $x$ " no tiene sentido hasta que se define, pero cómo ¿puede definirlo? precisamente ? Ese es el verdadero problema.

Tampoco se puede decir simplemente "tangente", porque eso sólo cambia el problema por otro peor. No sólo es difícil definir "tangente", sino que falla en casos como $f : $ definido por $f(0) = 0$ y $f(x) = x^2·\cos(1/x)$ por cada $x_{0}$ Si se intenta definir "tangente" en términos de una línea que toca sólo una vez en un pequeño disco abierto alrededor del punto.

En última instancia, una de las mejores formas de definir la "pendiente/gradiente de $f$ en $x$ " es a través de la definición estándar. Se puede preguntar " ¿Por qué esa definición? ", y la respuesta es:

Porque esa definición da buenas propiedades, ¡e incluso se corresponde con la intuición!

Supongamos que tienes una ladera lisa, y que conoces una función $f$ que captura su elevación para cada coordenada a lo largo de un camino recto por esa colina. Entonces la definición rigurosa de $f'$ realmente te da algo que coincide con el intuitivo noción de pendiente ¡! La razón es que la pendiente es intuitivamente "la velocidad a la que sube", y no se puede medir en un solo punto, pero sí cerca de un punto. Si te acercas a ese punto de la ladera y se ve gradualmente más y más recto a medida que te acercas, entonces es (rigurosamente demostrable que es) diferenciable allí y de hecho $f'$ en ese punto es exactamente la pendiente de la línea que se aproxima al acercarse.

Del mismo modo, la velocidad instantánea de un vehículo no puede medirse realmente en la vida real, sino que lo que mide el velocímetro es cuántas vueltas da la rueda en un pequeño intervalo de tiempo. De hecho, deberías notar que si pones y quitas el pedal del acelerador rápidamente, el velocímetro no te muestra la velocidad que cambia rápidamente, precisamente porque lo hace no medir la velocidad instantánea y su resolución temporal no es tan buena. Pero si se viaja en un trayecto relativamente suave, entonces el matemáticamente riguroso derivada coincide con lo que muestra el velocímetro, ya que cada pequeña parte de la gráfica velocidad-tiempo es casi lineal.

Answer 5

En matemáticas, las definiciones y los sistemas no se escriben una vez y se cuecen en barro.

En cambio, se desarrollan con el tiempo. En el caso de las derivadas, podemos remontarnos a Newton y Leibniz, que desarrollaron formas de describir las pendientes de las ecuaciones utilizando una sintaxis y unas definiciones diferentes. Según los estándares actuales, ninguna de las dos definiciones era "formal".

Con el tiempo, la sintaxis que utilizamos para hablar de los derivados, los términos que empleamos y las definiciones formales han evolucionado.

La definición formal más común que utilizamos para las derivadas de funciones unidimensionales es la basada en la epión-delta. Hay otras que se puede demostrar que dan los mismos resultados en el conjunto de funciones comunes en las que estamos de acuerdo colectiva e intuitivamente en lo que significa "pendiente".

En los casos límite, dos formas distintas de hablar de la derivada pueden describir las cosas de manera diferente; esos casos límite suelen ser bastante extraños.

Y luego subes y empiezas a hablar de abstracciones de la derivada. ¿Qué sucede cuando en lugar de funciones de $\mathbb{R}$ a $\mathbb{R}$ Estamos hablando de $\mathbb{Z}$ a $\mathbb{Z}$ o números complejos o cuaterniones o polinomios o vectores o estructuras de grupo más exóticas o álgebras de Lie.

En esos contextos, encontrarás estructuras parecidas a las derivadas que se refieren a características importantes de la derivada, ya sea "esto es como una pendiente" o "tiene propiedades algebraicas similares a las del operador diferencial".

Pero lo que la convierte en la derivada es que cuando se tiene un dibujo de una línea que se comporta razonablemente bien y que no se dobla, el valor que asigna a cada punto a lo largo de la línea es la pendiente de la línea que dibujó. Ese es el concepto central que unifica la derivada de Newton con las definiciones modernas de derivadas basadas en épsilon-deltas o infinitesimales.

Trabajar con eso directamente es como cocinar comida cuando tu definición de comida es "cosas que comen los bichos". Cualquier definición técnica de los alimentos tiene que ser coherente con eso. Cualquier definición gastronómica de los alimentos tiene que ser coherente con eso. Pero esa no es una definición útil para casi ningún propósito práctico.

Si mañana alguien ideara y compartiera una definición mejor de derivada que englobara la idea de tasa de cambio instantánea pero que resultara mucho más útil que las existentes, durante un periodo de décadas esperaría que la definición actual basada en épsilon-delta perdiera protagonismo. La nueva definición seguiría siendo "la derivada" (o acabaría siéndolo), por lo que decir que la definición épsilon-delta es lo que "es" la derivada es engañoso a medio o largo plazo.