Límite $\lim_{x \rightarrow -\infty} (1 + x^3) = -\infty.$ por epsilon delta

Question

Demuestra lo siguiente utilizando la definición de límite: $$\lim_{x \rightarrow -\infty} (1 + x^3) = -\infty.$$ Sé que tenemos que demostrar que para todos $x < N$ debe haber $f(x) < M$ pero no sé muy bien qué hacer a partir de aquí.

Cualquier ayuda será muy apreciada,

Gracias.

Answer 1

Dejemos que $M < 0$ sea dado, elija N tal que $N < \sqrt[3]{M-1}$ . Para $x < N$ tenemos: $1 + x^3 < 1 + (M - 1) = M$ . Esto demuestra el resultado.