Los números p-ádicos como un grupo ordenado

Question

Así que yo entiendo que no hay orden en el campo de la p-ádico números de $\mathbb{Q_p}$ que lo hace en un orden de campo (es decir,) compatible con la suma y la multiplicación.

Ahora, a partir de las respuestas a un par de mis preguntas anteriores,

1. $\mathbb{Q_p}$ es divisible abelian grupo por medio de la adición (por ser un campo de característica $0$).

2. $\mathbb{Q_p}$ es de torsión libre.

3. Se admite un orden compatible con el grupo de operación (suma), ya que cada torsión libre abelian grupo está disponible.

Mi pregunta es, puedo escribir una explícito pedido de $\mathbb{Q_p}$ compatible con el grupo de operación? Por "explícito", me refiero a un orden en el que, dados dos p-ádico números, yo puedo decidir cual es mayor.

P. S.: yo no estaba seguro de cómo clasificar este problema, así que por favor siéntase libre de cambiar las etiquetas.

Answer 1

EDIT: pensé que sería apropiado, dado el tal vez inesperado descriptivo de conjunto de la teoría de la naturaleza de esta respuesta, para dar un prólogo que explica el énfasis en la propiedad de Baire (BP). Un subconjunto de un espacio topológico tiene la BP si difiere de un conjunto abierto por un escaso conjunto (un conjunto de contenidos en la unión de countably muchos denso en ninguna parte fija). En la configuración de un espacio polaco (como $\mathbb{Z}_p$ o de los números reales), la BP conjuntos contienen los conjuntos de Borel (y continua de imágenes de los conjuntos de Borel) y satisfacer algunas buenas propiedades de regularidad. En este contexto BP conjuntos debe ser considerado análogo a conjuntos medibles, con escasos conjuntos de servir como análogos de la nula conjuntos. Por ejemplo, el polaco, el espacio en sí no es escaso, y la Kuratowski-Ulam teorema afirma que un subconjunto del plano es magro si y solo si sólo un escaso conjunto de secciones verticales son nonmeager (esto es, básicamente, un teorema de Fubini).

Uno especialmente destacable es que es consistente con los axiomas $\mathtt{ZF+DC}$ que cada subconjunto de un espacio polaco tiene la BP. Recordemos que $\mathtt{ZF}$ es el estándar axiomatization de la teoría de conjuntos sin elección, y $\mathtt{DC}$ es el axioma de la dependiente de la elección. Intuitivamente, $\mathtt{DC}$ le da la libertad de hacer una contables de la secuencia de opciones, donde cada elección puede referirse a las propiedades de las elecciones previas (por lo que no son "independientes"). Dependiente de la elección es suficiente para hacer casi todo de común matemáticas: puede realizar la mayoría de análisis, llevar a cabo típico inductivo construcciones, conjuntos de Borel se comportan razonablemente, la primera de innumerables cardenal no es un contable de la unión de conjuntos contables, etc. Algunos de los contextos en los que se $\mathtt{DC}$ no otorgar el poder completo de la $\mathtt{AC}$ incluyen la realización salvajemente no constructiva actos como la construcción de un conjunto de Vitali o la elección de bases de enormes espacios vectoriales. Entonces, yo creo que el $\mathtt{ZF+DC}$ es un marco razonable para llevar a cabo su solicitud de una "explícita" orden lineal de $(\mathbb{Z}_p,+)$. Una vez que se descarta la existencia de un orden lineal con la propiedad de Baire, estamos obligados a reconocer que no hay argumento que la producción de este orden puede ser llevado a cabo en $\mathtt{ZF+DC}$, corriendo nuestras esperanzas de una construcción explícita.

Por cierto, me voy a centrar en $(\mathbb{Z}_p, +)$ en lugar de $(\mathbb{Q}_p,+)$ simplemente por comodidad. Debe quedar claro que cualquier pedido de este último induce una orden de la antigua, así que si nada el problema es más difícil para $\mathtt{Z}_p$.

---

No hay ningún orden lineal de los aditivos de grupo $(\mathbb{Z}_2,+)$ $2$- ádico enteros que tiene la propiedad de Baire (con respecto a la habitual polaco topología). En particular, es coherente con el $\mathtt{ZF+DC}$ que no hay tal orden que existe en absoluto, por lo que un gran fragmento de el axioma de elección es de hecho necesario para construir un orden. Análogos argumentos funcionará para todos los $\mathbb{Z}_p$, con un poco más desagradable de la notación.

A partir de aquí vamos a identificar los elementos de $\mathbb{Z}_2$ con infinidad de cadenas binarias, esto es, los elementos de $2^\omega$ con el producto de la topología. Podemos definir una relación de equivalencia $E_0$ $2^\omega$ mediante el establecimiento de dos cadenas equivalente iff difieren en un número finito de coordenadas. Esta $E_0$ tiene una buena interpretación en $\mathbb{Z}_2$: $x$ y $y$ $E_0$ relacionados con el iff su diferencia es un (estándar) entero. Más precisamente, $x E_0 y$ fib para algunos $n$, $x + 1 + 1 + \cdots + 1 (n \mbox{ times}) = y$ o viceversa, donde $1$ denota la norma entero $1$ (es decir, la secuencia de $10000\ldots$).

(Esa última parte no es literalmente cierto, ya que la constante de $1$ secuencia $1$ es igual a la constante de $0$ de la secuencia. Pero es cierto fuera de la eventual constante secuencias, lo cual es suficiente para hacer que el siguiente argumento (ya que sólo hay countably muchos con el tiempo constante de secuencias).)

Utilizamos sin prueba estándar dos hechos acerca de la $E_0$:

1. Si $A \subseteq 2^\omega$ tiene la propiedad de Baire (de ahora en adelante abreviado BP) y cumple con cada una de las $E_0$-clase en más de un punto, a continuación, $A$ es escasa (esto es, esencialmente, la Vitali argumento);
2. Si $A \subseteq 2^\omega$ tiene la pa y el es $E_0$-invariante (es decir, $x \in A$ $x E_0 y$ implica $y \in A$), $A$ es escaso o comeager (esta es una forma de ergodicity) (*).

Ahora, dada una supuesta orden de $<$ con el BP, podemos partición $2^\omega$ en tres $E_0$-invariante BP piezas:

• $X_- = \{x \in 2^\omega : \forall y (y E_0 x \implies y < 0)\}$;
• $X_+ = \{x \in 2^\omega : \forall y (y E_0 x \implies y > 0)\}$;
• $X_0 = 2^\omega \backslash (X_- \cup X_+)$

(aquí se $0$ es el elemento de identidad del grupo: la constante de $0$ secuencia). Por lo $X_-$ es la unión de las $E_0$-clases que son del todo negativos, $X_+$ la unión de aquellos totalmente positivo, y $X_0$ la unión de aquellos que son a veces positivas y a veces negativas.

(Técnicamente, estas piezas podrían no tener el BP, pero por Kuratowski-Ulam hay algún elemento en $2^\omega$ que puede utilizar en lugar de $0$ hacer que las piezas tienen el BP. Para facilitar la notación, supongamos $0$).

Hemos de observar primero que $X_0$ es pobre. Tenga en cuenta que el conjunto de $\{x : 0 \leq x < 1\}$ (que es escasa por Hecho 1) de aciertos de cada una de las $X_0$ clase en exactamente un punto, por lo $X_0$ es la unión de countably muchos homeomórficos traducciones (es decir, la norma entero turnos) de un escaso conjunto, por lo tanto es escasa.

Ahora vamos a $f: 2^\omega \to 2^\omega$ denotar la bitflipping homeomorphism, por lo $f(01001110\ldots) = 10110001\ldots$. Tomamos nota de que $x \in A_-$ fib $f(x) \in A_+$, ya que el $x + f(x) + 1 = 0$ todos los $x$. Esto significa que $A_-$ no puede ser comeager, else $A_+ = f[A_-]$ sería una discontinuo comeager conjunto. Pero, a continuación, por el Hecho 2, $A_-$ es escaso, por lo tanto así es $A_+ = f[A_-]$, y, en consecuencia, hemos escrito $2^\omega$ como la unión de tres escasos conjuntos. Así que nos hemos topado con una contradicción.

---

(*) Por petición, aquí es una referencia de Hechos 2: Teorema 3.2 de G. Hjorth: Clasificación y la Órbita de las Relaciones de Equivalencia, Matemática Encuestas y Monografías, 75, Sociedad Matemática Americana, Providence, RI, 2000. Aunque en realidad este teorema es demasiado para este caso especial ... he aquí un boceto de un más elemental argumento que funciona aquí.

Supongamos que $B \subseteq 2^\omega$ es nonmeager; queremos demostrar que las $[B]_{E_0} = \{x: \exists y \in B\ (x E_0 y)\}$ es comeager. Por la localización, existe un conjunto abierto $U$ tal que $B \cap U$ es comeager en $U$. Podemos encontrar un número finito de cadena binaria $s$ digamos de longitud $n$ tal que $U$ contiene todos los elementos de a $2^\omega$ comienzan con $s$. Ahora mira a la $2^n$ homeomorphisms de $2^\omega$ que voltear algún subconjunto de la primera $n$ bits de una cadena y dejar el resto sin cambios. Estos mapas enviar cada una de las $x$ algo $E_0$-relativa a la $x$, por lo que se deduce que el $[B]_{E_0}$ es comeager en la unión de $U$'s imágenes en estos mapas. Pero la unión de estas imágenes es de $2^\omega$!

Answer 2

$1$ es positivo o negativo. Dicen que es positiva (de lo contrario, invertir el orden). Entonces $0<1<2<3<...$. Pero hay un subsequence de estos que converge a $0$. Imposible.