¿Qué es la geometría algebraica?

Question

Soy un estudiante de segundo año de física, buscando explorar algunas áreas de las matemáticas puras. Una palabra que aparece a menudo en Internet es geometría algebraica.

¿Qué es exactamente esta geometría algebraica? Por favor, ¿podría dar una respuesta menos técnica para describir lo que hace este campo y cómo?

He hecho álgebra lineal, algo de teoría de grupos y representaciones, y algo de topología de conjuntos de puntos básicos, todo de libros de texto de física matemática. También, un breve resumen de los requisitos previos para estudiar y hacer la investigación en el campo. Sé que se utiliza el álgebra conmutativa y la topología, pero ¿exactamente de qué manera y cómo están interconectadas? ¿Cómo se mezcla exactamente el álgebra con la topología? Gracias.

Answer 1

Es un tema enorme, y hay muchas perspectivas diferentes; aquí hay algunas que no requieren demasiados antecedentes.

Perspectiva uno: Es una generalización del álgebra lineal.

El álgebra lineal consiste en tratar sistemas de ecuaciones lineales. Esto es fácil: el conjunto de soluciones de un sistema (homogéneo) es sólo un subespacio de $F^n$ (donde $F$ es el campo de los escalares), y se puede calcular su dimensión reduciendo el sistema a la forma escalonada.

La geometría algebraica consiste en tratar sistemas de ecuaciones polinómicas. Como puedes imaginar, esto es mucho más difícil. En el álgebra lineal, gran parte de la teoría es totalmente independiente del campo $F$ al menos hasta que se quiera diagonalizar los operadores; en la geometría algebraica, los no cerrados algebraicamente $F$ son un enorme dolor de cabeza, y hay fenómenos en característica $p$ que no aparecen en la característica $0$ .

Segunda perspectiva: es una herramienta computacional en la geometría clásica.

En geometría y topología podemos querer estudiar los invariantes de las variedades. Definimos muchos invariantes, por ejemplo, los grupos de homología, pero ¿cómo podemos obtenerlos? Para la mayoría de los ejemplos, no podemos hacerlo fácilmente, pero si el ejemplo resulta ser un colector complejo dado por ecuaciones polinómicas, hay mucho más que podemos decir. Esto es especialmente importante si queremos hacer cosas con los ordenadores.

Perspectiva tres: Es una forma conceptual de pensar en el álgebra conmutativa.

Si te doy un anillo, vale, genial, tiene ideales primos, ideales máximos, divisores cero, etc. ¿Qué significa todo esto, y cómo recordar el aluvión de teoremas técnicos sobre la integralidad, los anillos de Artin, los anillos locales regulares, etc.?

Si el anillo es el anillo de funciones sobre algún espacio, entonces la geometría del espacio puede reflejar propiedades del anillo, y podemos recordar el álgebra conmutativa imaginando la geometría. Lo que Grothendieck comprendió es que si definimos correctamente el "espacio" (lo que no es tan fácil), ¡todo anillo es el anillo de funciones sobre algún espacio! Un ejemplo de cómo se puede relacionar la geometría con las propiedades intrínsecas del anillo: el espacio adjunto a un anillo es conexo si y sólo si todos los divisores de cero en el anillo son nilpotentes.

Answer 2

Supongamos que se miran todos los polinomios en dos variables, $\mathbb C[x,y]$ . Cualquier elemento $p$ en ese anillo se puede evaluar en cualquier elemento de $\mathbb C^2$ - si tenemos dos valores complejos, $a,b$ podemos calcular $p(a,b)$ . Y si $p,q$ evalúan el mismo valor en cada punto de $\mathbb C^2$ entonces son realmente el mismo polinomio.

Ahora, mira cómo $\mathbb C[x,y]$ actúa cuando se evalúa sólo en algún subconjunto de $\mathbb C^2$ , digamos que el conjunto de puntos $X=\{(a,b): b = a^2\}$ .

Entonces $\mathbb C[x,y]$ ya no es "fiel", sino que dos polinomios diferentes, como $p_1(x,y)=x^3y$ y $p_2(x,y)=xy^2$ puede evaluarse como el mismo en $X$ . En X, entonces, el anillo de funciones de evaluación es en realidad $R=\mathbb C[x,y]/\left<y-x^2\right>\cong \mathbb C[x]$ .

Es un caso MUY simple, pero la Geometría Algebraica se basa en la idea de que podemos aprender algo sobre la geometría de las soluciones de un conjunto de ecuaciones (en este caso, $b=a^2$ ) mirando el anillo de funciones de evaluación en ese conjunto.

Ahora, dado cualquier punto $(a,b)\in X$ existe un homomorfismo natural de anillo $\phi:R\rightarrow \mathbb C$ que corresponde a la evaluación. Como este mapa es onto, esto significa que el punto $(a,b)$ corresponde a algún ideal máximo de $R$ .

Esa correspondencia entre puntos de la gráfica de sus ecuaciones e ideales máximos del "anillo de evaluación" asociado a sus ecuaciones, es el gran punto de partida de la geometría algebraica.

Me saltaré la parte de la topología de la pregunta, porque probablemente sea demasiado confusa para intentar mezclarla, excepto para decir que los tipos de topología utilizados en la Geometría Algebraica son muy diferentes de las típicas topologías de partida utilizadas en la Topología Algebraica.