Probando $σ_{ji,j} + f_i = ρ(Dv_i/Dt) \implies (σ_{ij} - ρv_iv_j) + f_i = \partial(ρv_i)/ \partial t$

Question

Ejercicio :

Demostrar que $$_{ji,j} + f_i = (Dv_i/Dt) \implies (_{ij} - v_iv_j)_{,j} + f_i = \partial(v_i)/ \partial t$$ donde $_{ij} = _{ji}$ es el tensor de tensión.

Intento :

Es :

$$\frac{Dv_i}{Dt} = \frac{\partial v_i}{\partial t} + v_j\frac{\partial v_i}{\partial x_j}$$

Por lo tanto, se obtiene :

$$_{ji,j} + f_i = \bigg(\frac{\partial v_i}{\partial t} + v_j\frac{\partial v_i}{\partial x_j}\bigg) \Rightarrow _{ji,j} + f_i -v_j\frac{\partial v_i}{\partial x_j} = \frac{\partial v_i}{\partial t}$$

$$\implies$$

$$\dots$$

¿Cómo se puede continuar y utilizar la ecuación de continuidad para obtener la expresión deseada? Se empieza a formar desde el inded $,j$ significa el diferencial con respecto a $j$ coordinar variable y tenemos aspectos de eso allí, pero no puedo finalizarlo.

Answer 1

Prueba esto: $$\begin{align} \rho \frac{\partial v_i}{\partial t} &= \frac{\partial}{\partial t} \left( \rho v_i \right) - \frac{\partial \rho}{\partial t} v_i \\ &= \frac{\partial}{\partial t} \left( \rho v_i \right) - \left( \nabla \cdot (\rho v) \right) v_i \\ &= \frac{\partial}{\partial t} \left( \rho v_i \right) - \left( \partial_j (\rho v_j) \right) v_i \\ &= \frac{\partial}{\partial t} \left( \rho v_i \right) - \partial_j (\rho v_j v_i) + \rho v_j \partial_j v_i\\ \end{align}$$