En el problema :
Eliminar $\theta$ del sistema de ecuaciones. $$x\sin\theta-y\cos\theta=-\sin4\theta$$ $$x\cos\theta+y\sin\theta=\frac52-\frac32\cos4\theta$$
se afirma en un respuesta anterior que la resultante es
$$x^{10}+5 x^8 y^2+10 x^6 x^4 + 10 x^4 y^6+5 x^2 y^8+y^{10}-705 x^8+12180 x^6 y^2 -24230 x^4 y^4+12180 x^2 y^6-705 y^8+122560 x^6-112320 x^4 y^2 -112320 x^2 y^4 +122560 y^6+599040 x^4-1361920 x^2 y^2 +599040 y^4+327680 x^2+327680 y^2-1048576=0$$
(generado a través de Mathematica )
que finalmente resultó ser
$$\boldsymbol{(x+y)^{2/5}+(x-y)^{2/5}=2}$$
que se logró con la parametrización, $$x=\cos(\theta)\,(5-4\cos^4(\theta)),$$ $$y=\sin(\theta)\,(5-4\sin^4(\theta)).$$
Que representa la ecuación cartesiana de la evolvente de un astroide .(?)
Con la victoria sobre ese problema (gracias a @Claude Leibovici), me atrajo otro problema similar: Eliminar $\theta$ de $4x=5\cos\theta -\cos 5\theta$ y $4y=5\sin\theta -\sin 5\theta$ donde la respuesta es la ecuación de un epicicloide .
En esa pregunta, se puede encontrar que $$x=\cos^3(\theta)\,(5-4\cos^2(\theta))$$ $$y=\sin^3(\theta)\,(5-4\sin^2(\theta))$$
que parece casi similar al enfoque antes mencionado.
Además, como se menciona en una respuesta, el eliminante es $$-81 - 45 x^2 + 365 x^4 - 15 x^6 - 480 x^8 + 256 x^{10} - 45 y^2 - 2395 x^2 y^2 - 45 x^4 y^2 - 1920 x^6 y^2 + 1280 x^8 y^2 + 365 y^4 - 45 x^2 y^4 - 2880 x^4 y^4 + 2560 x^6 y^4 - 15 y^6 - 1920 x^2 y^6 + 2560 x^4 y^6 - 480 y^8 + 1280 x^2 y^8 + 256 y^{10}=0$$
(generado a través de Wolfram|Alpha )
Así que, debido a la similitud, puede haber una solución limpia como antes.
He probado a introducir algunas ecuaciones posibles Wolfram|Alpha y Desmos calculadora gráfica, buscando una pista. Sin embargo, no he encontrado la salida.
Pregunta . ¿Puede haber una buena ecuación para esta curva?
Si te sirve de ayuda, aquí tienes una tabla con los coeficientes de cada término de cada polinomio (para facilitar la comparación).
$(x+y)^{2/5}+(x-y)^{2/5}=2$
desconocido
$x^{10},y^{10}$
1
256
$x^8,y^8$
-705
-480
$x^6,y^6$
122560
-15
$x^4,y^4$
599040
365
$x^2,y^2$
327680
-45
$x^8y^2,x^2y^8$
5
1280
$x^6y^4,x^4y^6$
10
2560
$x^6y^2,x^2y^6$
12108
-1920
$x^4y^2,x^2y^4$
-112320
-45
$x^2y^2$
-1361920
-2395
$x^4y^4$
-24230
-2880
constante
-1048576
-81
Curvas:
La curva roja es la hipocicloide y la otra es la epicicloide.
La simetría de estas curvas inspira a alguien a encontrar ecuaciones bien formadas (lo que me ocurrió a mí : ) ).
