Desigualdad de Cauchy-Schwarz y Hölder ' desigualdad s

Question

Puede sonar tonto, pero siempre tengo curiosidad si la desigualdad de $$\sum_{k=1}^n de Hölder | x_k\, y_k | \le \biggl (\sum_{k=1}^n | x_k | ^ p \biggr)^{\!1/p\;} \biggl (\sum_{k=1}^n | y_k | ^ q \biggr)^{\!1/q} \text {para todos} (x_1, \ldots, x_n), (y_1, \ldots, y_n) \in\mathbb {R} ^ n\text {o} \mathbb{C}^n.$$ se derivan de la desigualdad de Cauchy-Schwarz.

Aquí $\frac{1}{p}+\frac{1}{q}=1$, $p>1$.

Answer 1

Sí se puede, suponiendo nada más importante que el hecho de que el punto medio de la convexidad implica la convexidad. Aquí hay algunas indicaciones de la prueba en el contexto más amplio de la integración de funciones.

Consideramos positivo $p$ $q$ tal que $1/p+1/q=1$ y funciones positivas $f$ $g$ suficientemente integrable con respecto a una determinada medida de todas las cantidades que se usan a continuación para ser finito. Introducir la función de $F$ definido en $[0,1]$ por $$F(t)=\int f^{pt}g^{q(1-t)}.$$ Uno ve que $$F(0)=\int g^q=\|g\|_q^q,\quad F(1)=\int f^p=\|f\|_p^p,\quad F(1/p)=\int fg=\|fg\|_1.$$ Además, por cada $t$$s$$[0,1]$, $$F({\estilo de texto{\frac12}}(t+s))=\int h_th_s,\qquad h_t=f^{pt/2}g^{q(1-t)/2},\ h_s=f^{ps/2}g^{q(1-s)/2},$$ por lo tanto Cauchy-Schwarz desigualdad de los rendimientos $$F({\estilo de texto{\frac12}}(t+s))^2\le\int h_t^2\cdot\int h_s^2=F(t)F(s).$$ Por lo tanto, la función de $(\log F)$ es punto medio convexa por lo tanto convexo. En particular, $1/p=(1/p)1+(1/q)0$ $1/p+1/q=1$ por lo tanto $$F(1/p)\le F(1)^{1/p}F(0)^{1/q},$$ que es Hölder la desigualdad $\|fg\|_1\le\|f\|_p\|g\|_p$.

Answer 2

Sugiero la siguiente consideración. Vamos a probar la desigualdad anterior racional,$p,q\in(1,\infty)$$\frac1p+\frac1q= 1$, y el irracional casos, seguir por la continuidad.

Si $p$ $q$ son racionales, vamos a $p=\frac ab$$q=\frac ac$$b+c=a$$2^m\ge a$. Ahora por inducción $$\sum |x^{(1)}\dots x^{(2^m)}| \le \left( \sum |x^{(1)}\cdots x^{(2^{m-1})}|^2 \right)^{\frac12}\cdot\left( \sum |x^{(2^{m-1}+1)}\cdots x^{(2^{m})}|^2 \right)^{\frac12}$$ $$\le \left( \sum |x^{(1)}|^{2^m} \right)^{\frac1{2^m}}\cdots \left( \sum |x^{(2^m)}|^{2^m} \right)^{\frac1{2^m}}$$ donde $x^{(i)}$ son secuencias de longitud $n$, cuyos índices se omite. Conectando $$x^{(1)}= \dots= x^{(b)}= x^{\frac a{b2^m}},\quad x^{(b+1)}= \dots= x^{(b+c)}= y^{\frac a{c2^m}},\quad x^{(b+c+1)}= \dots = x^{(2^m)}=(xy)^{\frac1{2^m}}$$ tenemos $$\sum |xy|= \sum |x^{\frac a{2^m}}y^{\frac a{2^m}}(xy)^{\frac {2^m-a}{2^m}}| \le \left( \sum |x|^{p} \right)^{\frac{b}{2^m}}\cdot \left( \sum |y|^{q} \right)^{\frac c{2^m}}\cdot \left( \sum |xy| \right)^{\frac {2^m-a}{2^m}}$$ lo que implica la desigualdad, nos propusimos dividiendo el tercer término del lado derecho, y poner la desigualdad a la $\frac{2^m}{a}$-ésima potencia.