Puede $e^{\frac{1}{\ln x}}$ simplificarse o aproximarse

Question

Claramente $e^{\ln x} = x$ .

¿Existe una simplificación para $e^{\frac{1}{\ln x}}$

Answer 1

Tenemos que para $x$ grande o pequeño ya que $\frac1{\log x} \to 0$

$$e^{\frac{1}{\ln x}} \approx1+\frac1{\ln x}$$

y más en general

$$e^{\frac{1}{\ln x}} \approx 1+\frac1{\ln x}+\frac12 \frac1{\ln^2 x}+\frac1{3!}\frac1{\ln^3 x}+\ldots+\frac1{n!}\frac1{\ln^n x}$$