La probabilidad de error del programa aleatorio.

Question

Considere este programa para detectar Impares y números pares:

• Si el número introducido es par, imprime $even$ .
• Si el número es impar, tiene un $4/5$ probabilidad de impresión $odd$ y $1/5$ probabilidad de impresión $even$ .

¿Cuántas veces debe ejecutarse el programa para que la probabilidad de obtener la respuesta correcta sea de 0,99 (confianza)?

Mi solución Si el programa imprime $odd$ entonces el número es ciertamente impar, porque si fuera par el programa imprimiría $even$ . Pero si el programa imprime $even$ hay una probabilidad de que el número sea realmente impar. Así que la probabilidad de error es cuando imprime $even$ pero el número es impar.

Así que usando la regla de Bayes tenemos:

$$ P(odd | print\ even ) = \frac{P(odd \wedge print\ even) }{P (odd \wedge print\ even) + P(even \wedge print\ even)} $$

En este caso repetimos el programa hasta que obtengamos un $odd$ o repitiendo $even$ para $K$ tiempos. ¿Es correcto? Sin embargo, luego no sé cómo continuar y cuál es el valor de cada uno de estos componentes. Se puede suponer que la probabilidad de un número es impar o incluso igual a 0,5

Answer 1

Definitivamente estás en el camino correcto. Esta fórmula es correcta: $$ P(odd | print\ even ) = \frac{P(odd \cap print\ even) }{P (odd \cap print\ even) + P(even \cap print\ even)} $$

$P(odd \cap print\ even)$ significaría que la entrada era impar, y por error se cambió a par. Ya que estos eventos son mutuamente excluyentes: $\frac{1}{2} * \frac{1}{5} = \frac{1}{10}$

$P(even \cap print\ even)$ sería simplemente $\frac{1}{2}$ . Si la entrada es par, se garantiza que sea par.

Conectando esto obtenemos: $$\frac{1/10}{1/10+1/2}$$

$ P(odd | print\ even ) = \frac{1}{6}$ . En cuanto al último paso, no está muy claro a qué se refiere. ¿Qué define "respuesta correcta"? Tal y como yo lo veo hay una posibilidad en cada paso de que la respuesta sea correcta o incorrecta, pero ¿qué haría que fuera "correcta" después de ejecutarla 10 veces? Si respondes actualizaré esto y te daré una respuesta.

Edición: La cifra de 0,99 es el número de veces que tenemos que repetir una salida par hasta que tengamos un 99% de confianza en que el número es par. Podemos afirmarlo: $P(\text{even after $ n $ repeats}) = 1 - P(\text{odd after $ n $ repeats})$ Como acabamos de calcular, la probabilidad de que sea impar al imprimir incluso es $\frac{1}{6}$ . Podemos hacer una tabla rápida cambiando el valor de $n$ y encontrar $P(\text{even after $ n $ repeats})$ :

$n=1$ : $1 - \frac{1}{6} \approx 0.8333$

$n=2$ : $1 - (\frac{1}{6})^2 \approx 0.9722$

$n=3$ : $1 - (\frac{1}{6})^3 \approx 0.9954$

Así que después de 3 repeticiones podemos estar seguros en un 99% de que realmente es un número par.

Answer 2

Si es par (.5 de probabilidad) entonces la probabilidad de éxito es 1 (un número par siempre imprime par, así que si introducimos un número par, el resultado de par es correcto con una probabilidad de 1. La mitad de los números son pares

si es impar entonces la probabilidad de éxito es de 4/5. (en 1/5 de las tiradas obtendremos la respuesta "par", y no habremos visto el resultado correcto)

Si el número es impar entonces después de n ejecuciones la probabilidad de éxito es $1 - (\frac{1}{5})^n$

después de n ejecuciones, la P de ver la respuesta correcta es

P = $\frac{1}{2} + \frac{1}{2}(1-(\frac{1}{5})^n)$

para obtener P = .99, reordenar

$(\frac{1}{5})^n = 1-.99 $

$n \log(\frac{1}{5}) = \log(.01)$

$n = -\log(.01) / \log(5) = 2.9$

así que 3 veces, ya que 2,9 veces no es posible, hay que superar esto