¿Hay un número infinito de $x$ para lo cual $\pi(x) \mid x$ ?

Question

Dejemos que $\pi(x)$ denotan el Función de recuento de primos.

• Se observa que, $\pi(6) \mid 6$ , $\pi(8) \mid 8$ . Hace $\pi(x) \mid x$ para sólo un número finito de $x$ o este hecho es cierto para un número infinito de $x$ .

Answer 1

Bueno, no es difícil demostrar que para cada natural $k>2$ ecuación $x=k\pi(x)$ tiene una solución positiva.

Prueba por contradicción: Imaginemos que $x\ne k\pi(x)$ para cada natural $x$ . Pero entonces - para $x=2$ : $x-k\pi(x)=2-k<0$ y en el caso de las grandes $x$ : $x-k\pi(x)\sim x(1-\frac{k}{\ln x})>0$ .

Así que debería haber tal $t$ que $t-k\pi(t)<0$ y $(t+1)-k\pi(t+1)>0$ . Pero entonces de una mano:

$$ t+1-k\pi(t+1)-(t-k\pi(t))\ge 2 $$ como una diferencia de enteros positivos y enteros negativos, pero por otro lado

$$ t+1-k\pi(t+1)-(t-k\pi(t))=1-k(\pi(t+1)-\pi(t))\le 1 $$

Contradicción.

Answer 2

Esto es de Sloane A057809 pero desgraciadamente no hay mucha información.

Heurísticamente, la posibilidad de que $\pi(x)\mid x$ es $\displaystyle\frac{\log{x}}{x}$ lo que sugiere que hay $0.5\log^2 x$ tales números hasta $x$ , es decir, infinitamente numerosos.

Answer 3

Consulte:

• Sobre la relación de $N$ a $\pi(N)$ , Solomon W. Golomb The American Mathematical Monthly Vol. $69$ No. $1$ (Enero, $1962$ ), pp. $36-37$