La derivada positiva implica aumento sin Teorema del Valor Medio

Question

El resultado siguiente se suele demostrar utilizando el Teorema del Valor Medio (véase, por ejemplo ProofWiki ).

Pero, ¿podemos demostrarlo también de forma más directa (y bastante elegante) sin recurrir a la MVT?

Supongamos que $f:[a,b]\rightarrow \mathbb{R}$ es diferenciable.

• Si $f'(x)\geq0$ para todos $x\in[a,b]$ entonces $f$ está aumentando en $[a,b]$ .
• Si $f'(x)>0$ para todos $x\in[a,b]$ entonces $f$ es estrictamente creciente en $[a,b]$ .
• Si $f'(x)\leq0$ para todos $x\in[a,b]$ entonces $f$ es decreciente en $[a,b]$ .
• Si $f'(x)<0$ para todos $x\in[a,b]$ entonces $f$ es estrictamente decreciente en $[a,b]$ .

Answer 1

Comentario largo: Si quieres aprender a demostrar cosas sobre funciones diferenciables, ¡esta es la pregunta equivocada! Porque MVT es la forma en que se demuestran las cosas sobre las funciones diferenciables.

Por supuesto, deben existir contraejemplos a esta última afirmación, pero a pesar de ello, estarás mejor si, cuando necesites demostrar algo sobre funciones diferenciables, consideras automáticamente si puedes aplicar la MVT.

Si quieres dominar el cálculo elemental con pruebas debes

1. Estudia la demostración del teorema de Rolle hasta que te parezca "evidente".

2. Lo mismo ocurre con la prueba de que Rolle implica la MVT.

3. Lo mismo ocurre con la prueba del resultado actual utilizando el MVT.

De verdad. Si, como parece posible, soy mejor que tú para demostrar cosas sobre las derivadas, la razón es que ya hice (1), (2) y (3) hace tiempo. Preguntar cómo se puede evitar el MVT aquí no va a ser ni mucho menos tan útil.