Estoy estudiando métodos de cálculo del grupo de Galois de polinomios irreducibles sobre $\mathbb{Q}$ . En el caso del quinto grado hay 5 variantes del grupo de Galois: $S_5,A_5,AGL_1(\mathbb{F}_5).D_5,\mathbb{Z}_5$ . Tengo problemas para determinar si el grupo de Galois es $\mathbb{Z}_5$ ou $D_5$ si dado que es un subgrupo o $D_5$ porque mi algoritmo requiere un poder computacional demasiado grande y me pregunto si hay una manera fácil de resolver este problema en particular.
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La sección 6.3 de "A Course in Computational Algebraic Number Theory" de Henri Cohen trata sobre el cálculo de los grupos de Galois utilizando resolventes. La subsección 6.3.4 trata específicamente del caso quíntico. Cohen da un algoritmo que aborda el caso de $\mathbb{Z}_{5}$ frente a $D_{5}$ en el paso 6 (una vez que se conoce un ciclo de 5 contenido en el grupo de Galois). Este algoritmo está implementado en PARI/GP (véase esta página ).
A la luz de las observaciones de David Speyer, la dificultad está en demostrar que el grupo de Galois es $\mathbb{Z}_{5}$ cuando parece que las únicas posibilidades de factorización de $f(x)$ modulo $p$ son irreducibles, y un producto de $5$ factores lineales.
