Por supuesto, Moshe tiene toda la razón, pero permítame ser un poco menos abstracto por un momento y enumerar algunos ejemplos que cubren la mayoría de los contextos en los que se utiliza el término "modo cero".
Cuando se habla del movimiento de un objeto extendido, como la cuerda, la posición de un punto a lo largo de la cuerda -el punto está parametrizado por $\sigma$ - es $X^\mu(\sigma)$ . El "modo cero" de $X$ no es entonces otra cosa que la media sobre la cadena: la coordenada del centro de masa.
La cantidad dual es el "modo cero" del momento - la integral de $P_\mu(\sigma)$ : no es otra cosa que el impulso total. Estos dos modos nulos, la posición del centro de masa y el momento total, son las cantidades que normalmente asociaríamos a una partícula puntual. Y de hecho, en alguna aproximación, la cuerda puede considerarse una partícula, y los modos cero son las propiedades habituales de la partícula.
Si se resuelven las ecuaciones diferenciales en variedades compactas, como las de Calabi-Yau, también se pueden encontrar modos cero. Por ejemplo, podemos tener una ecuación de Dirac $$D^\mu \gamma_\mu \psi(x_1, \dots, x_6) = 0$$ Las soluciones $\psi$ a esta ecuación de Dirac sin masa son sólo modos cero. La ecuación anterior sólo incluía funciones de las coordenadas compactas. Pero si se consideran tanto las 6 coordenadas compactas como las 3+1 no compactas, se pueden considerar los espinores $\psi$ cuya dependencia de las 6 coordenadas compactas viene dada por el "modo cero", la solución de la ecuación anterior. Dicho campo se comportará entonces como una partícula sin masa en 4 dimensiones: resolverá la ecuación de 3+1 dimensiones con una masa evanescente.
En los dos casos anteriores, había un operador, ya sea $-d^2/d\sigma^2$ o el operador de Dirac $D^\mu \gamma_\mu$ que aniquiló la solución y por eso la solución se llamó finalmente "modo cero". En este contexto, es útil mencionar lo que son los "modos no nulos" o "modos normales". Son valores propios de los mismos operadores con diferentes valores propios.
Por ejemplo, el operador $-d^2/d\sigma^2$ en la cadena puede actuar sobre funciones como $\exp(in\sigma)$ y producirá $n^2$ - lo mismo con los senos y cosenos. Estos modos no nulos son estados propios de un operador, por lo que si se incluyen todos los valores propios posibles y la degeneración correcta, se puede reconstruir cualquier función - por expansiones de Fourier.
Lo mismo ocurre con el ejemplo de Dirac. Todos los espinores $\psi$ en la variedad de 6 dimensiones puede escribirse como una combinación de los "modos", algunos de los cuales son los modos cero, pero la mayoría son modos no cero. Cuando se habla de supersimetría, los modos no nulos suelen venir en pares y se puede demostrar, pero los modos nulos -partículas sin masa en 3+1 dimensiones, como he mencionado- pueden venir no emparejados. Así que el número de modos nulos de la ecuación de Dirac (más precisamente el número de soluciones menos el número de "anti-soluciones" con alguna carga o quiralidad opuesta, etc.) es un número especial conocido como el "índice". Es invariante bajo todas las transformaciones continuas. En la teoría de cuerdas heterótica, se interpreta como el número de generaciones (menos el número de antigeneraciones) de leptones y quarks que obtenemos en 3+1 dimensiones.
Podemos seguir con las soluciones de las ecuaciones de Dirac y similares. Pero consideremos un fondo diferente, por ejemplo, un instantón en la teoría gauge. E incluir el término del campo gauge al operador de Dirac. Entonces este operador total de Dirac tendrá de nuevo algunos modos nulos en $R^{3,1}$ el modo cero será no nulo y no trivial especialmente en la región donde se encuentra el instantón. Cualquier partícula fermiónica en 3+1 dimensiones que tenga un modo cero aparecerá en realidad como un factor en un producto complicado de muchos campos fermiónicos - y este término de interacción multiproducto es en realidad inducido por el instantón.
El modo cero es un $c$ -soluciones numéricas de la ecuación diferencial correcta con el operador correcto. Pero su significado real es que todo el campo cuántico debe expandirse en modos - modos cero y modos no cero. Cada término de la suma tiene un $c$ -función valorada numéricamente del "espacio" o "espaciotiempo" y se multiplica por un operador correspondiente al modo. Los operadores que multiplican los modos cero en la expansión desempeñan un papel especial.
En lugar del operador de Dirac, se pueden considerar los operadores diferenciales de otros campos, incluidos los bosónicos, como el propio campo gauge. Los "modos cero" de la ecuación diferencial para los campos bosónicos -esencialmente varias formas de ecuaciones de onda (covariantes)- describen deformaciones del fondo. Son "grados de libertad colectivos" del instantón. Es la llamada interacción 't Hooft.
Nótese que la descripción "grado de libertad colectivo" se aplica también a la cuerda. La posición del centro de masa y el momento total son "grados de libertad colectivos" para todos los "bits" de la cuerda; comparten estos grados de libertad colectivos. Algunos de los modos cero indican cómo puede moverse todo el objeto en el espacio, como en el ejemplo de la cuerda. Pero los modos cero fermiónicos también pueden indicar cómo puede moverse todo el objeto en el superespacio. Y los modos cero del instantón también incluyen algunos modos cuya variación determina los cambios de tamaño (y/o forma) del instantón - o de cualquier otro objeto.
Este texto sólo pretendía que el lector tuviera algunas ideas más concretas sobre las palabras de Moshé, que por supuesto son totalmente válidas.
Mis mejores deseos Lubos
