lema de hensel para el primo 2

Question

El lema de Hensel para los primos Impares, según tengo entendido, permite determinar las soluciones de varias ecuaciones cuadráticas homogéneas módulo $p^n$ resolviendo una ecuación apropiada mod $p$ y levantando.

Sin embargo, para $p=2$ nos encontramos con problemas, ya que la derivada de una forma cuadrática es cero mod 2. Aunque no podemos reducir las ecuaciones mod $2^n$ a las ecuaciones módulo $2$ ¿podemos hacer algo parecido? Como bajar a $2^2, 2^3$ ¿o algo así? ¿O la situación no tiene solución?

Editar: Señalar que el problema que planteé surge con las formas cuadráticas en particular.

Answer 1

Tal vez André haya respondido a tu pregunta. Puedo decir que sus preguntas parecen demasiado abiertas para obtener respuestas precisas.

Mientras tanto, puedo recomendar $p$ -número de veces que se ha de pagar por ello por Fernando Q. Gouvea. Tengo la segunda edición.

Con esto en mente: primero, por Ernst Selmer, 1957, encontramos que la forma cúbica (homogénea) $$ 3 x^3 + 4 y^3 + 5 z^3 $$ tiene ceros no triviales en cada $\mathbb Q_p$ incluyendo los reales como $\mathbb Q_\infty,$ pero no tiene ninguna raíz racional excepto $(0,0,0).$ En realidad eso no está en este libro. Por raíz me refiero a $ 3 x^3 + 4 y^3 + 5 z^3 = 0.$

En segundo lugar, dada una forma cuadrática (homogénea de grado 2) que tiene raíces no triviales en cada $\mathbb Q_p,$ entonces tiene una raíz racional no trivial. Este es el célebre Teorema de Hasse-Minkowski, Gouvea página 79, Teorema 3.5.2.

En tercer lugar, dada una forma $f$ y una pregunta de representación $f(x_1, \cdots, x_r) = n,$ lo que hace es crear $$ g(x_1, \cdots, x_r, x_{r+1}) = f(x_1, \cdots, x_r) - n x_{r+1}^2. $$ Entonces se pregunta si $g$ tiene raíces no triviales. Esto nos lleva rápidamente a un territorio desconocido y la palabra isotrópico. Véase J. W. S. Cassels, Formas cuadráticas racionales hasta la página 63. Cassels enumera cuidadosamente las clases cuadradas 2-ádicas en la página 43, en el contexto del símbolo de residuo de la norma de Hilbert.

Por último, página 73 de Gouvea, problema 116: Demuestre que si $b \in \mathbb Z_2,$ y $b \equiv 1 \pmod {8 \mathbb Z_2}$ (para que en particular $b$ es una unidad 2-ádica), entonces $b$ es un cuadrado en $ \mathbb Z_2.$ A la inversa, demuestre que cualquier unidad 2-ádica que sea un cuadrado es congruente con $1$ modulo $8.$ Concluir que el grupo $\mathbb Q_2^\times/ \left(Q_2^\times \right)^2$ tiene orden $8,$ y es generado por las clases de $-1,5,$ y $2,$ de modo que un conjunto completo de representantes del coset es $\{ 1,-1,5,-5,2,-2,10,-10 \}.$

Bueno, eso es un comienzo.

Answer 2

Editar: Esta es una respuesta a una versión anterior de la pregunta.

En el enunciado habitual del Lemma de Hensel, no se exige que el primo $p$ ser impar. Naturalmente, surgen problemas con las congruencias cuadráticas módulo una potencia de $2$ . Pero el análisis de $x^2\equiv a\pmod{2^n}$ es bastante suave para $n\ge 3$ .

Hay problemas similares con las congruencias $x^3\equiv a \pmod{3^n}$ .