Convergencia absoluta de $\sum\limits_{n=0}^{\infty} \frac {z} {(z+n)^2}$

Question

Quiero comprobar la convergencia absoluta de $\displaystyle\sum_{n=0}^{\infty} \frac {z} {(z+n)^2}$ en el medio plano $\Re(z)>0$ y ver si la convergencia es uniforme o localmente uniforme. ¿Cómo puedo encontrar la función de suma?

Answer 1

Para comprobar la convergencia absoluta, utilice $$|z+n|^2\geq |Re(z+n)|^2=(Re z + n)^2$$ y la comparación con $1/n^2$ .

Debido a $z$ en el numerador, la convergencia de esta serie es localmente uniforme en cualquier subconjunto compacto del semiplano $Re z > 0$ .

No tengo la función de suma para tu suma, pero hay una fórmula que da la siguiente suma. $$\sum_{n=-\infty}^{\infty} \frac{1}{(z+n)^2}=\frac{\pi^2}{(\sin\pi z)^2},\ $$ para los no integrales $z$ . Se puede obtener esta fórmula mediante la integración del contorno de $$f(s)=\frac{\pi\cot\pi s}{(z+s)^2}$$