Teorema de la función inversa/implícita ¿Razones?

Question

He visto una conferencia del ICTP sobre análisis real elemental y el conferenciante se ha esforzado mucho importancia del teorema del valor intermedio porque es lo que se generaliza a las porque es lo que se generaliza a dimensiones más altas a través de la conectividad y cómo Bolzano-Weierstrass generaliza a los espacios métricos y cómo lo que realmente importa son los resultados que se derivan de ellos. lo que realmente importa. Independientemente de lo cierto que sea eso (creo que está sesgado porque es un analista funcional (¿analista?) Encontré ese trozo de intuición y motivación extremadamente y he leído muchos enlaces, wikis, etc., buscando ese tipo de motivación. motivación, pero no estaba en ninguna parte de antemano.

Del mismo modo, he leído mucho sobre los teoremas de la función implícita/inversa, pero sólo no entiendo las razones para poner tanto énfasis en ellos, pero eso es porque no sé realmente lo que dicen y eso es en parte porque no entiendo lo que hay que saber para apreciar realmente estos teoremas.

Supongo que lo que pido es una explicación perspicaz y humana de lo que estas teorías son, lo que hay que saber para llegar a ellas, por qué hay que saber ese cierto material y por qué estas cosas son tan poderosas (por ejemplo, creo que puedes usarlas para demostrar el teorema de los multiplicadores de Lagrange, aunque no sé por qué tiene que ver con ello, también sé que conocer una significa que puedes demostrar la otra y que no importa desde qué dirección te acerques, pero de nuevo no aprecio por qué es así).

Me interesa más la teoría que la rodea, es decir, lo que hay que saber, por qué hay que saberlo y por qué es tan importante, que lo que dice el teorema. necesita saber eso y por qué es tan importante, que lo que dice el teorema, así que preferiría preferiría tener la motivación para poder demostrarlo yo mismo.

(Sí, he leído la página de la wiki, los hilos en este sitio, los muchos artículos que aparentemente tratan de motivarlo, sólo que siento que no he leído nada que calme directamente mis preocupaciones mencionadas, así que creo que eso justifica el hilo).

Gracias por su tiempo.

Answer 1

El teorema de la función inversa/implícita te dice cuándo puedes resolver (localmente) un sistema de ecuaciones. Esto es increíblemente importante siempre que quieras estudiar un problema no lineal -- por ejemplo, geometría diferencial, EDP, etc. En lo sucesivo llamaré a ambos "teorema de la función implícita", ya que en realidad son la misma cosa.

Permítanme dar un ejemplo: supongan que están en el plano, y quieren resolver para $x^2 + y^2 = 1$ . Ha encontrado una solución por inspección ( $x = 1, y = 0$ , digamos). Dejemos que $F(x,y) = x^2 + y^2 - 1$ . Esto es $F: \mathbb{R}^2 \to \mathbb{R}$ .

Tienes una solución $F(1,0) = 0$ y quiere entender $F(x,y) = 0$ . El teorema de la función implícita te dice que consideres la derivada $dF(1,0) = (2, 0) \colon \mathbb{R}^2 \to \mathbb{R}$ . Este mapa lineal es sobreyectivo, por lo que el teorema de la función implícita nos dice que existe una pequeña vecindad de $(1,0)$ de modo que si restringimos nuestra atención a esta vecindad, existe un espacio de soluciones parametrizado por el núcleo del mapa lineal, es decir, por el eje vertical. Además, esto describe todas las soluciones en esta vecindad, y el espacio de soluciones es tangente a esta línea en $(1,0)$ .

En este ejemplo, hemos utilizado el teorema de la función implícita para decirnos muchas cosas sobre el círculo. Lo hemos utilizado para decir que el círculo es unidimensional (al menos cerca de $(1,0)$ ), que el círculo tiene una tangente vertical en $(1,0)$ y que cerca de $(1,0)$ , no tenemos ninguna rama acumulada que se acerque cada vez más. (es decir, hemos descartado algo patológico como lo que ocurre si se toma la unión de las líneas $x = 1/n$ y $x=0$ .)

Esto es una tontería cuando sabemos con qué estamos trabajando tan específicamente. Sin embargo, se puede utilizar el teorema de la función implícita para entender situaciones mucho más complicadas ... por ejemplo, considere $n \times n$ matrices. Mira las matrices aquí con determinante $1$ . ¿Qué aspecto tiene eso? Usando el teorema de la función implícita se puede describir al menos a qué es tangente en cada punto, y también que es un espacio "bonito" de la forma en que el círculo es un espacio bonito (estoy tratando de describir lo que se conoce como ser un submanifold).

Permítanme dar un ejemplo más elegante. Consideremos una ecuación diferencial $(x',y') = (f(x,y), g(x,y))$ . Digamos que hay dos puntos de descanso $p, q$ y puedes encontrar una trayectoria que los conecte por algún método. Puedes preguntarte si ésta es la única trayectoria que conecta los dos puntos. Utilizando el teorema de la función implícita en dimensiones infinitas (en un espacio de Banach), tienes una herramienta para abordar este problema. Métodos similares también funcionan a veces en el estudio de ciertas EDP.

A menudo, no se puede encontrar una solución por inspección, pero se sabe que el problema no lineal que se quiere resolver es de la forma $F(x) = 0$ , donde $x$ vive en un espacio adecuado. Aun así, se puede sacar algo de provecho del teorema de la función implícita en este caso. Es mucho más difícil, así que sólo daré detalles si te interesa. Sospecho que lo que he escrito ya ha dado bastante que pensar.

Sorprendentemente, lo único que se necesita para demostrar este resultado clave es la comprensión del Principio de Mapas de Contracción de Banach (y una buena comprensión del hecho de que la primera derivada en un punto $p$ es el mejor mapa lineal que se aproxima a su mapa no lineal cerca de $p$ ).

Answer 2

Estos teoremas son tan importantes porque dicen que lo que intuitivamente crees que debería ser cierto, es realmente cierto. Voy a explicar esto para el teorema de la función implícita; pero podrías dar explicaciones similares para el teorema de la función inversa o para el teorema del rango.

Supongamos, por ejemplo, que tres cantidades físicas como $p$ , $V$ , $T$ están relacionados por una cierta ley $\Phi(p, V, T)=0$ donde el lado izquierdo es una expresión complicada en las variables $p$ , $V$ , $T$ . Contando los "grados de libertad" se tiene la impresión de que siempre que se dan valores para dos de las tres variables se debe determinar el valor correspondiente de la tercera variable, incluso si no eres capaz de resolver la ecuación $\Phi(p,V,T)=0$ explícitamente para la tercera variable.

Ahí es donde el teorema sobre las funciones implícitas entra: No sólo garantiza bajo ciertas hipótesis que los valores de, digamos, $V$ y $T$ determinar el valor de $p$ pero que $p$ es en realidad una función diferenciable $\phi(\cdot,\cdot)$ de $V$ y $T$ y da fórmulas para las derivadas parciales ${\partial \phi\over\partial V}$ , ${\partial \phi\over\partial T}$ que no requieren la solución de $\Phi(p, V, T)=0$ para $p$ en términos variables.

Ahora el teorema de la función implícita (así como los otros teoremas mencionados) es sólo un teorema local. Esto significa que se necesita un punto factible $(p_0,V_0,T_0)$ para empezar, y la gráfica de la función $\phi: (V,T)\to p:=\phi(V,T)$ sólo se define en una pequeña caja con centro $(p_0,V_0,T_0)$ . Además hay una cierta "condición técnica" que no voy a explicar aquí. Excluye casos como la ecuación $x+y^2=0$ que no define $y$ como una buena función de $x$ en los alrededores de $(0,0)$ .

Answer 3

Prueba el libro de Krantz-Parks El teorema de la función implícita: Historia, teoría y aplicaciones .

Ver también ¿Para qué sirve el Teorema de la Función Implícita? en MO.

Answer 4

Supongamos que $f:\mathbb{R}^m\to\mathbb{R}^n$ es un mapa suave. Recordemos que, en cualquier punto $x \in \mathbb{R}^m,$ el derivado de $f$ es un mapa lineal $D_x f: \mathbb{R}^m \to \mathbb{R}^n$ dado por

$$ D_x f(\vec{v}) = \lim_{t\to 0} \frac{f(x + t \vec{v}) - f(x)}{t}.$$

Recordemos que, incluso cuando $f$ no es invertible, para cualquier punto dado $y \in \mathbb{R}^n,$ todavía podemos definir el preimagen $f^{-1}(y)$ para ser el conjunto de todos los puntos $x \in \mathbb{R}^m$ tal que $f(x) = y.$

Decimos que un punto $y \in \mathbb{R}^n$ es un punto regular cuando para cada punto $x \in f^{-1}(y),$ $D_x f$ tiene el rango completo. En particular, si $m > n,$ esto implica que $D_x f$ es suryente. Siempre que $D_x f$ es suryente, decimos que $f$ es un inmersión en $x.$

Teorema de la inmersión local: Si $f$ es una inmersión en $x,$ entonces hay coordenadas locales $(\tilde{x}_1,\ldots, \tilde{x}_m)$ alrededor de $x$ tal que $f(\tilde{x}_1,\ldots,\tilde{x}_m) = (\tilde{x}_1,\ldots,\tilde{x}_n).$

Teorema de la preimagen: Si $y \in \mathbb{R}^n$ es un punto regular, entonces $f^{-1}(y)$ es un suave $(m-n)$ -submanifold de dimensiones de $\mathbb{R}^m.$ Eso es, $f^{-1}(y)$ es localmente homeomorfo (por un mapa suave invertible) a $\mathbb{R}^{(m-n)}.$ Es decir, de cerca, $f^{-1}(y)$ se parece a $\mathbb{R}^{(m-n)}.$

La demostración del teorema de la inmersión local depende críticamente del IFT. A su vez, la demostración del teorema de la preimagen depende críticamente del teorema de la inmersión local.

Transversalidad y la teoría de la intersección, como se indica, por ejemplo, en el clásico de Guillemin y Pollack Topología diferencial ---dependen críticamente del teorema de la preimagen. Estas herramientas son muy útiles; pueden utilizarse para demostrar la Teorema de Borsuk-Ulam y el teorema fundamental del álgebra y son herramientas esenciales para el desarrollo de la teoría del punto fijo de Lefschetz y la nebulosa de resultados llamada Teorema del índice de Poincare-Hopf ." El teorema del índice de Poincare-Hopf, a su vez, se utiliza para demostrar el general Teorema de Gauss-Bonnet .