$C([0,T],(L(X),\mathcal T_{\text{strong}})) = C([0,T],(L(X),\mathcal T_{\text{uniform}}))$ ?

Question

Dado un espacio de Banach $X$ tenemos dos topologías en el espacio de todos los operadores lineales acotados $L(X)$ Uno de ellos es topología de operador uniforme $\mathcal T_{\text{strong}}$ el otro es topología de operador fuerte $\mathcal T_{\text{uniform}}$ . Sabemos que la topología $\mathcal T_{\text{uniform}}$ es normable con el norma del operador $\|\cdot\|$ .

Ahora $C([0,T],(L(X),\mathcal T_{\text{uniform}}))$ es el espacio de todas las funciones de $[0,T]$ a $L(X)$ que son continuos para la topología del operador uniforme. Claramente, es normable con la norma supremacía $$\|F\|_\infty:=\sup_{t\in[0,T]}\|F(t)\|.$$

$C([0,T],(L(X),\mathcal T_{\text{strong}}))$ es el espacio de todas las funciones de $[0,T]$ a $L(X)$ que son continuas para la topología del operador fuerte. Es decir, $F\in C([0,T],(L(X),\mathcal T_{\text{strong}}))$ si y sólo si para cada $x\in X$ la función $t\to F(t)x$ es continua.

Cómo comparar estos dos espacios $C([0,T],(L(X),\mathcal T_{\text{strong}}))$ y $C([0,T],(L(X),\mathcal T_{\text{uniform}}))$ ? ¿Son iguales como conjuntos? ¿Y qué hay de sus topologías? ¿Son equivalentes estas dos topologías?

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En realidad, la pregunta está motivada por un argumento del libro Semigrupos de un parámetro para ecuaciones de evolución lineal por Engel & Nagel. Véase la última frase en la imagen de abajo. ¿Cómo pueden derivar de $$\lim_{n\to\infty}F_n(\cdot)x = F(\cdot)x, \ \text{in } C([0,t_0],X), \quad\forall x\in X,$$ a $$\lim_{n\to\infty}F_n = F, \ \text{in } \mathcal X_{t_0}.$$

Answer 1

Por lo general, no son iguales como conjuntos.

Tome $X = L^1([0,1])$ y para $h \in X$ dejar $F(t)h = 1_{[0,t]} h$ . Se puede comprobar, utilizando el teorema de convergencia dominada, que para cualquier $h$ , si $t_n \to t$ tenemos $1_{[0,t_n]}h \to 1_{[0,t]}h$ en $L^1$ . Por lo tanto, $F : [0,1] \to L(X)$ es continua cuando $L(X)$ está dotado de la topología del operador fuerte. Sin embargo, para cualquier $t > 0$ si tomamos $h = 1_{[0,t]}$ entonces $F(t)h = h$ y por lo tanto $\|F(t)\| \ge 1$ mientras que $F(0)$ es el operador cero. Así que $F$ no es continua cuando $L(X)$ está dotado de la topología uniforme.

Es decir, esta función particular $F$ está en $C([0,T],(L(X),\mathcal T_{\text{strong}}))$ pero no en $C([0,T],(L(X),\mathcal T_{\text{uniform}}))$ .

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Para la prueba en el libro, hay algunos pasos más que no se han escrito.

En este punto, lo que se ha demostrado es lo siguiente:

Para cada fijo $x \in X$ la secuencia de funciones $t \mapsto F_n(t)x$ converge en sup norma a alguna función llamada $t \mapsto F(t)x$ , que es continua.

Ahora tienes que verificar lo siguiente:

• Para cada $t$ el mapa $x \mapsto F(t) x$ es lineal. Por lo tanto, podemos ver $F(t)$ como un operador lineal en $X$ .

• Para cada $t$ el operador lineal $x \mapsto F(t)x$ está acotado, es decir $\sup_{\|x\|=1} \|F(t)x\|_X < \infty$ . (Se puede utilizar el principio de acotación uniforme.) Por lo tanto, podemos ver $F$ como una función de $[0,t_0]$ en $L(X)$ .

• Como ya hemos demostrado que $t \mapsto F(t) x$ es continua para cada $x$ Esto demuestra que $F : [0,t_0] \to L(X)$ es continua con respecto a la topología del operador fuerte. Así que $F$ realmente es un elemento de $\mathcal{X}_{t_0}$ .

• Demuestra que $F_n$ converge a $F$ en la norma anterior. Es decir, debe mostrar $$\sup_{t \in [0,t_0]} \|F_n(t) - F(t)\|_{L(X)} := \sup_{t \in [0,t_0]} \sup_{\|x\| = 1} \|F_n(t)x - F(t)x\|_{X} \to 0$$ como $n \to \infty$ . Este será un tipo típico de desigualdad triangular " $\epsilon/2$ ".

  Específicamente, arreglar $\epsilon > 0$ . Desde $\{F_n\}$ es Cauchy, elija $N$ tan grande que $\|F_k - F_m\|_{\infty} < \epsilon/2$ para todos $m, k > N$ . Elija un $x \in X$ con $\|x\|_X = 1$ . Desde $F_n(\cdot) x \to F(\cdot) x$ uniformemente (que es el enunciado del cuadro anterior), podemos encontrar un $m > N$ tal que para cada $t \in [0,t_0]$ tenemos $\|F_m(t) x - F(t)x\|_X < \epsilon/2$ . También tenemos $$\|F_k(t)x - F_m(t)x\| \le \|F_k(t) -F_m(t)\|_{L(X)} \|x\| \le \|F_k - F_m\|_\infty \|x\| <\epsilon/2$$ como en el caso anterior, así que por la desigualdad del triángulo, $$\|F_k(t) x - F(t) x\|_X \le \|F_k(t) x - F_m(t) x\|_X + \|F_m(t) x - F(t) x\|_X < \epsilon.$$ Así que tenemos $\|F_k(t) x - F(t) x\|_X < \epsilon$ . Pero $x$ y $t$ eran arbitrarias, por lo que tenemos $$\sup_{t \in [0,t_0]} \sup_{\|x\| = 1} \|F_n(t)x - F(t)x\|_{X} \le \epsilon.$$ Esto es válido para todos los $k > N$ por lo que hemos demostrado la convergencia deseada.