Derivada direccional frente a la restricción de la función y luego la derivada

Question

Digamos que tengo una función de dos variables, y una recta en el plano, y me gustaría "tomar la derivada a lo largo de la recta". ¿Es esto una indicación para usar la derivada direccional, O se espera que primero restrinja la función a la línea en el plano, para que sea una función de una variable, y luego tome una derivada en, digamos, la variable x?

Y sea cual sea la respuesta correcta, ¿qué hace entonces la otra opción?

(esto es específicamente en relación con un ejemplo de elementos finitos hermite; la línea en cuestión es un lado de un triángulo, por lo que se dan dos puntos en la línea (dos de los vértices del triángulo); si la derivada direccional es lo que de hecho se quiere decir, entonces supongo que se refieren a evaluarla en uno de los dos puntos).

Answer 1

Los dos métodos dan las mismas respuestas (aunque hay algunas sutilezas). Para un vector $v=(v_x,v_y)$ y señalar $x=(x_0,y_0)$ la derivada direccional es $$\lim_{t\rightarrow 0}\frac{f(x+tv)-f(x)}{t}.$$ Un teorema estándar en el cálculo multivariante es que la derivada direccional es $\nabla f\cdot v=v_x\partial_xf+v_y\partial_yf$ .

Ahora, si se restringe a la línea $y=m(x-x_0)+y_0$ (para una línea no vertical), entonces la derivada de $f(x,y)$ a lo largo de esta línea es la derivada de $$f(x,y)=f(x,m(x-x_0)+y_0)$$ (por ahora, nos centraremos en la derivada con respecto a $x$ ). La derivada de esto (usando la regla de la cadena) es $$\frac{d}{dx}f(x,m(x-x_0)+y_0)=\partial_xf+m\partial_yf.$$

Ahora podemos relacionar las dos expresiones. Obsérvese que la línea $y=m(x-x_0)+y_0$ tiene un vector de dirección $(1,m)$ Así que esto conecta los dos métodos.

La principal precaución es que al escribir una línea como $y=mx+b$ en función de $x$ no es una curva de velocidad unitaria (hay que dividir por $\sqrt{1+m^2}$ ). Por lo tanto, a menos que cambie sus variables, obtendrá un error de escala entre la derivada direccional y la restricción.