Demostrar que $a^{n+m}=a^{n}a^m$ para números reales

Question

¿Cómo se puede demostrar que $$ a^{n+m} = a^{n} a^{m} $$ para $a,n,m \in \mathbb R$ .

Puedo demostrar esto para los números enteros, pero ¿cómo se puede demostrar esto para los números reales?

Answer 1

Necesitas $a > 0$ para que esto tenga sentido.

1. Para $n, m$ enteros, por inducción
2. Para los racionales $n, m$ Utiliza la definición que $a^{n/m} = \sqrt[m]{a^n}$ y reducir al caso (1)
3. Ampliar a todos los reales $n, m$ por la continuidad

Answer 2

Una pista:

Si se refiere a $a>0$ entonces

$$a^{n+m}=\exp\left[(n+m)\ln{a}\right]$$

Ahora utiliza algunos conocimientos de $\log$ para terminar de probar.

Answer 3

Definir

$$F(z) := x^{z+a}x^{-z}x^{-a} \qquad a,x,z \in \Bbb R$$

y asumir $x > 0$ . Entonces

$$F'(z) = 0$$

así que $F(z)$ es una función constante, lo que significa que $F(z) = F(0)$ para todos $z$ . Ahora, establezca $a = 0$ y obtenemos

$$F(z) = x^z x^{-z} = F(0) = x^0 x^0 = 1 \iff x^z x^{-z} = 1 \iff x^{-z} = \frac{1}{x^z} \qquad (1)$$

Además, nos encontramos con

$$F(z) = x^{z+a}x^{-z}x^{-a} = F(0) = x^a x^{-a} \underset{(1)}{=} 1$$

Por lo tanto,

$$F(z) = x^{z+a}x^{-z}x^{-a} = 1$$

que es

$$x^{z+a} = x^z x^a$$