Encontrar el límite $\lim \limits_{n\to \infty }\cos \left(\pi\sqrt{n^{2}-n} \right)$

Question

Me gustaría que me ayudaran a encontrar el siguiente límite: $$\lim_{n\to \infty }\cos (\pi\sqrt{n^{2}-n}).$$

Me pidieron que encontrara este límite, pero sinceramente creo que no existe.

Según el Teorema de Heine del límite de funciones, puedo elegir dos secuencias:

$x_{k}=2\pi k$ y $y_{k}=2\pi k+\pi$ y fíjate que cuando aplique la función sobre ambos, obtendré -1 y 1, respectivamente.

¿Estoy en lo cierto?

Gracias de nuevo.

Answer 1

Dado que Davide Giraudo ha proporcionado un buen argumento formal, me permitiré el lujo de la informalidad.

Dejemos que $n$ sea un número entero positivo grande. Completa el cuadrado. Tenemos $$n^2-n=\left(n-\frac{1}{2}\right)^2 -\frac{1}{4}$$

Toma la raíz cuadrada. Cuando $n$ es muy grande, el término $-1/4$ hace una contribución insignificante a la raíz cuadrada.

Así que nuestra raíz cuadrada es casi igual a $n-1/2$ . Y el coseno de $\pi n -\pi/2$ es $0$ .

Answer 2

Tenemos \begin{align*} \cos (\pi\sqrt{n^2-n})&= (-1)^n\cos(\pi(\sqrt{n^2-n}-n))\\ &= (-1)^n \cos\pi\frac{-n}{\sqrt{n^2-n}+n}\\ &=(-1)^n\cos \pi\frac 1{\sqrt{1-\frac 1n }+1}, \end{align*} por lo que $|\cos(\pi\sqrt{n^2-n})| = \left|\cos \left(\pi\frac 1{\sqrt{1-\frac 1n }+1}\right)\right|$ . Desde $\lim \limits_{n\to +\infty}\pi\frac 1{\sqrt{1-\frac 1n }+1} =\frac{\pi}2$ El $\cos$ es continua y $\cos \frac{\pi}2 =0$ concluimos que el límite es $0$ .

Answer 3

Teniendo en cuenta la forma $\cos(\pi n \sqrt{1-\frac{1}{n}})$ y utilizando la expansión de Taylor para $\sqrt{1-\frac{1}{x}}$ $\to$ ver aquí , obtenemos que cuando n es grande $\cos (\pi\sqrt{n^{2}-n}) \approx \cos( \pi n -\frac{\pi}{2})$ . Por lo tanto, $L=0$ .

Q.E.D.