Todas las combinaciones para elegir entre un conjunto de tres bolas de colores

Question

No encuentro esta pregunta exacta. La pregunta concreta que tengo es la siguiente:

Si tienes una bolsa con una bola roja, una azul y una verde, la probabilidad de elegir cualquiera de ellas es de 1/3. Es muy sencillo. Pero digamos que lo haces ocho veces seguidas. ¿La probabilidad de elegir el mismo color ocho veces seguidas es de 1/6561, es decir, del 0,015%? No estoy seguro de si lo triplicarías, ya que podría ocurrir con cualquier color en particular, o si eso ya se tiene en cuenta de alguna manera. O tal vez sean ambas cosas, dependiendo de si el color importa.

La pregunta más general es cuál sería la fórmula para calcular cualquier combinación particular de colores, por ejemplo, tres rojos, tres azules y dos verdes, si el orden de selección no importa. También me gustaría ver la fórmula más genérica para cualquier número de bolas y cualquier número de selecciones.

Answer 1

La probabilidad de elegir el rojo $8$ veces seguidas es $\frac{1}{3^8}$ .

La probabilidad de elegir el azul $8$ veces seguidas es la misma, al igual que la probabilidad de que el verde $8$ veces seguidas. Así que la probabilidad de algunos color $8$ veces seguidas es $3\cdot \frac{1}{3^8}$ .

Para el problema algo más general que usted menciona, supongamos que escogemos una bola $8$ veces seguidas, con reemplazo.

La probabilidad de cualquier particular La secuencia de colores es $\frac{1}{3^8}$ . Ahora nos preguntamos cuántas secuencias hay que tengan $3$ rojo, $3$ azul, y $2$ verde. Esto viene dado por el coeficiente multinomial $\binom{8}{3,3,2}$ que es $\frac{8!}{3!3!2!}$ . Así que nuestra probabilidad es $\frac{8!}{3!3!2!}\cdot \frac{1}{3^8}$ .

Observación: De forma más general, supongamos que repetimos un experimento independientemente $n$ veces, con posibles resultados $A_1,A_2,\dots,A_r$ que tienen probabilidades $p_1,p_2,\dots,p_r$ . Entonces la probabilidad de que $A_1$ se producirá $a_1$ veces, y $A_2$ se producirá $a_2$ veces, y así sucesivamente, donde $a_1+a_2+\cdots+a_r=n$ viene dada por $$\binom{n}{a_1,a_2,\dots,a_r} p_1^{a_1}p_2^{a_2}\cdots p_r^{a_r}.$$

El coeficiente multinomial que se encuentra delante es $\frac{n!}{a_1!a_2!\cdots a_r!}$ . Es el número de "palabras" de longitud $n$ , sobre el alfabeto $\{A_1,\dots,A_r\}$ que tienen exactamente $a_1$ ocurrencias de $A_1$ , $a_2$ ocurrencias de $A_2$ y así sucesivamente hasta $A_r$ .

Para más detalles, puede buscar en distribución multinomial .