$\lVert a \rVert = 1 = \lVert a^{-1} \rVert \Rightarrow a^* = a^{-1}$

Question

Más rigurosamente, dejemos $A$ sea un unital $C^*$ -Álgebra. Intento demostrar que para $a$ Inv( $A$ ), $$\lVert a \rVert = 1 = \lVert a^{-1} \rVert \Rightarrow a^* = a^{-1}.$$ Para ello, ya he demostrado lo siguiente:

- el valor absoluto $|a|$ de $a$ construido mediante el cálculo funcional es invertible si $a$ es;

- el elemento $u := a|a|^{-1}$ es unitaria.

Esto nos lleva a preguntarnos: en nuestro caso, ¿podemos encontrar siempre $b A$ tal que $a = b|b|^{-1}$ ? Si es así, he demostrado que $a$ es unitaria. Pero tal vez no sea ésta la forma correcta de hacerlo.

Answer 1

Por suposición $\|a^*a\|=1$ y $\|a^{-1}(a^{-1})^*\|=1.$ Así, $\|(a^*a)^{-1}\|=1.$ El elemento $b=a^*a$ es positivo, invertible y $\|b\|=\|b^{-1}\|=1.$ Por lo tanto, el espectro de $b$ está contenida en $(0,1].$ Tenemos $$\sigma(b^{-1})=\{t^{-1}\,:\, t\in \sigma(b)\}\subset [1,\infty )$$ Como $\|b^{-1}\|=1$ el espectro de $b$ debe ser igual $\{1\}.$ En ese caso $b=e$ así $a^*a=e.$

Answer 2

Utilizando Gelfand-Neimark podemos suponer que $A$ es una subálgebra de $B(H)$ para algún espacio de Hilbert $H$ . Entonces, para cada $\xi $ en $H$ , tenemos $$ \|a(\xi )\|\leq \|\xi \| = \|a^{-1}(a(\xi ))\|\leq \|a(\xi )\|. $$ Así pues, la igualdad se mantiene en todo momento y, por lo tanto, $a$ es una isometría, claramente también suryente. Por tanto, $a$ es unitaria.