$(X,\mathcal T)$ es un espacio topológico que tiene un subespacio Hausdorff denso. Es $X$ ¿Hausdorff?
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Para una generalización, se puede demostrar fácilmente que cada El espacio de Hausdorff puede ser incrustado como un subconjunto denso de un espacio no Hausdorff. Dado un espacio de Hausdorff $X$ definir un nuevo espacio $Y = X \cup \{ \alpha , \omega \}$ para que los conjuntos abiertos sean sólo los conjuntos abiertos de $X$ junto con todo el espacio $Y$ . Entonces $X$ es claramente un subespacio denso de $Y$ (el único barrio de $\alpha$ o $\omega$ es todo el espacio $Y$ ), y $Y$ no es Hausdorff (de hecho, ni siquiera es T $_0$ ya que $\alpha$ y $\omega$ tienen exactamente los mismos barrios abiertos).
DanV
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Matthew Scouten
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Para un ejemplo un poco menos trivial, considere $X = [0,1] \cup \{1'\}$ , donde $1'$ es una "copia extra de $1$ " para que los barrios básicos de $1'$ son $\{1'\} \cup (1-\epsilon,1)$ para cualquier $\epsilon > 0$ . En $[0,1]$ se toma la topología habitual. Entonces $[0,1]$ es un subespacio denso que es Hausdorff, pero $X$ no es Hausdorff porque $1$ y $1'$ no tienen barrios desunidos.
Nir
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Los geómetras algebraicos sonreirán y pensarán en el punto genérico de su esquema irreducible favorito...
[Para los geómetras no algebraicos: un esquema es el objeto básico que se estudia en la geometría algebraica.
Tiene un espacio topológico subyacente que casi nunca es Hausdorff.
Sin embargo, muy a menudo un esquema $X$ tiene una llamada punto genérico $\eta\in X$ , de tal manera que el conjunto único $\{\eta\}$ , obviamente un subespacio Hausdorff, es denso en $X$ . El esquema $X$ se llama entonces irreducible.
Respondo a la pregunta para demostrar que la situación se da en la vida real (matemática), en contra de lo que podrían sugerir algunas (excelentes) otras respuestas].
Wade Mealing
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No, Espacio de Sierpinski es el cierre de su punto no cerrado.
