Dejemos que \begin{equation*} \bigoplus_{ \ell_2} K_n := \{ (x_1,x_2,\cdots) \in \bigoplus_{n=1}^\infty : x_n \in K_n, \sum_{n=1}^{\infty} || x_n ||^2 <\infty \} \end{equation*} donde $K_n$ son espacios de Hilbert. Está claro que $\bigoplus_{ \ell_2} K_n$ es también un espacio de Hilbert. Sea $H$ otro espacio de Hilbert, y el operador acotado \begin{equation*} \begin{split} T & : H \rightarrow \bigoplus_{ \ell_2} K_n \\ & x \mapsto (T_1 x,T_2 x, \cdots) \end{split} \fin{ecuación*} donde $T_n = \pi_n \circ T$ y $\pi_n$ son las proyecciones canónicas.
Tenemos que $T^* = T^* \circ \pi_n^* = T^* \circ j_n$ , donde $j_n : K_n \rightarrow \bigoplus_{ \ell_2} K_n$ es la inclusión canónica (véase Adjunto de la proyección sobre la suma directa de los espacios de Hilbert )
Intenté demostrar que \begin{equation*} T^*T = \sum_{n=1}^\infty T_n^* T_n. \end{equation*} Este es mi intento:
Dejemos que $x \in H$ .
Tenemos \begin{equation*} \begin{split} \sum_{n=1}^\infty T_n^* T_n x & = \sum_{n=1}^\infty T^* j_n \pi_n Tx = T^* \left( \sum_{n=1}^\infty j_n \pi_n (T_1x,T_2x,\cdots) \right) \\ & = T^*\left(\sum_{n=1}^\infty j_n(y_n)\right) = T^* \left(\sum_{n=1}^\infty (0,\cdots,0,T_nx,0, \cdots) \right) \\ & = T^*(T_1x,T_2x,\cdots) = T^*Tx. \end{split} \fin{ecuación*} ¿Es correcta mi demostración? Gracias por su ayuda.
