Dejemos que $\{f_n\}$ sea una secuencia de funciones holomorfas definidas en un dominio genérico $D \subset \mathbb{C}$ . Supongamos que existe $f$ tal que $f_n \to f$ de manera uniforme.
Mi pregunta es: ¿es cierto que $f$ ¿también es holomorfo?
Respuestas
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Para una función $f: D \to \mathbb{C}$ para ser holomorfo, por el teorema de Morera basta que para cada triángulo $\Delta \subset D$ tenemos $\int_{\partial \Delta} f = 0$ . Ahora bien, si $f_n \to f$ uniformemente, es fácil demostrar que $\int_{\partial \Delta} f_n \to \int_{\partial \Delta} f$ pero como $f_n$ son holomorfos, $\int_{\partial \Delta} f_n = 0$ por lo que el límite es, por supuesto, también 0.
Obsérvese que en realidad basta con suponer una convergencia casi uniforme, es decir, una convergencia uniforme en todos los subconjuntos compactos $K \subset D$ .
Paul
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Sólo necesita que $f_n\to f$ uniformemente en cada subconjunto compacto de $D$ . Es un hecho conocido que $f$ es entonces continua. La idea es utilizar el teorema de Morera.
Dejemos que $\Delta\subset D$ sea un triángulo cerrado. Como cada $f_n$ es holomorfa, por el teorema de Cauchy, se tiene $\displaystyle\int_{\partial\Delta} f_n(z)dz=0$ para todos $n$ .
$\partial\Delta$ es un subconjunto compacto de $D$ , para que sepas que $f_n\to f$ uniformemente en $\partial\Delta$ .
Así que usted consigue, para todos $n$ , $$\left|\int_{\partial\Delta} f(z)dz\right|=\left|\int_{\partial\Delta} (f(z)-f_n(z))dz\right|\leq\mathrm{length}({\partial\Delta})\sup_{z\in\partial\Delta}|f(z)-f_n(z)|$$
Dejando $n\rightarrow\infty$ , usted encuentra que $\displaystyle\int_{\partial\Delta} f(z)dz=0$ .
Por el teorema de Morera, $f$ es holomorfo.
Christopher A. Wong
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Ya has visto una aproximación utilizando el teorema de Morera en las otras excelentes respuestas. Para una demostración un poco más concreta de por qué $f$ es diferenciable de forma compleja, se puede utilizar el hecho de que cada $f_n$ satisface la fórmula integral de Cauchy, por lo que por convergencia uniforme $f$ también satisface la fórmula integral de Cauchy. Esto permite diferenciar $f$ diferenciando la integral.
user1952009
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Sólo quiero añadir una pequeña precisión :
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(Si $f(z)$ es continua a trozos) y $$\int_\gamma f(z) dz = 0$$ por cada uno cerrado $C^1$ contorno $\gamma \subset U$ algunos abiertos entonces $f(z)$ es holomorfo en $U$ .
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Pero si $U$ está cerrado , digamos que $U = \{ \ |z| \le 1 \ \}$ entonces sólo obtenemos que $f(z)$ es holomorfo en $U \setminus \partial U$ .
Prueba con $$f(z) = \sum_{n=2}^\infty \frac{z^n}{n (n-1)}$$
entonces $\displaystyle\sum_{n=2}^\infty \left|\frac{1}{n (n-1)} \right|$ converge por lo tanto $\displaystyle\sum_{n=2}^\infty \frac{z^n}{n (n-1)}$ converge uniformemente en $|z| \le 1$ pero $$f'(z) = \sum_{n=1}^\infty \frac{z^n}{n} = -\log(1-z)$$ tiene una singularidad en $z=1$ : $ \quad f(z)$ es holomorfa sólo en $|z| < 1$ y no en $|z| \le 1$ .
