Pasé mucho tiempo investigando esta cuestión antes de enseñar geometría algebraica este otoño. El objetivo es impartir un curso de un trimestre (3,5 meses) desde la perspectiva del espacio anillado que prepare a la gente para un segundo curso sobre esquemas con Hartshorne o Vakil. Asumí una exposición previa al álgebra conmutativa, pero no un dominio, y ninguna experiencia analítica. Me imagino que compartiré mi investigación aquí.
Empecé por hacer una lluvia de ideas sobre lo que me parecía una lista mínima de temas:
1 La correspondencia entre ideales y variedades
2 Localización
3 Geometría proyectiva
4 Ejemplos clásicos (grassmanianos, variedades de bandera, discriminantes, etc.)
5 Mapas finitos y conservación del número
6 Voladuras
7 Teoría de las dimensiones
8 DVRs y geometría local de las curvas
9 Diferenciales y derivaciones, regularidad. Más tarde descubrí que muchos cursos dividen esto en 9a: tangente de Zariski y espacio cotangente y 9b: Propiedades globales de las formas 1.
10 Normalidad y normalización
11 Geometría global de las curvas
Debo mencionar que esta lista está inspirada en un curso increíble que tomé de Brian Conrad que, según recuerdo, cubría todos estos temas excepto el 4 y el 5, además de la teoría de gavillas. Conrad tiene notas de un curso similar en línea ici pero me resultó difícil verificar (o refutar) mi memoria a partir de sus notas.
A continuación, revisé una serie de cursos que pude encontrar de instructores que respetaba para ver qué cubrían. En este caso, un signo menos significa que un tema parece haber sido tocado brevemente pero no de forma detallada.
Karen Smith 1 2- 3 4 7 9a 6 8 10- 11- 9b También hace los divisores de Weil y Cartier.
Ópera de Dragos 1 2- 3 7 9 10 6 5- 11-
Ravi Vakil 1 2- 3 7 9a 8 10 11 9b También realiza valoraciones no discretas y terminaciones
Igor Dolgachev 1 2- 3 5- 10- 7 4 9 11
El libro de texto de Shavarevich 1 3 7 4 2 9a 6 10 9b 11
El libro de texto de Milne 1 2 7 9 3 4- 10 5 6
Lo que obtuve de esto: Mi lista es demasiado grande para abarcarla en un plazo; hay que elegir un subconjunto de esto. Todo el mundo parece estar de acuerdo en que el 12379 es el núcleo, y casi todos van en ese orden. Casi nadie hace lo que yo consideraría una buena cobertura de 5. (Ejemplo de reto: Supongamos que te entrego el cálculo de que el cúbico de Fermat tiene $27$ y que la correspondiente variedad de correspondencia en $G(2,4) \times \mathbb{P}(\mathrm{cubics})$ es suave sobre la cúbica de Fermat. ¿Saben los alumnos lo suficiente para deducir que la superficie cúbica genérica tiene $27$ ¿líneas distintas? Para un geómetra algebraico enumerativo clásico, ¡esa es la cuestión!) A menudo se elige el 11 como punto culminante del término.
Mi propio curso en curso tiene notas diarias ici . Si todo va según lo previsto, cubriré
1 2- 3 5 4- 7 9 8 10-- 11
1 votos
mathoverflow.net/questions/28496/ parece relevante (aunque un primer curso de geometría algebraica puede, y quizás debería, ser sobre variedades más que sobre esquemas).
0 votos
@Nehsb He visto ese hilo, y creo que mi pregunta tiene un espíritu similar a la de Ravi. Desgraciadamente los esquemas son probablemente demasiado avanzados para un primer curso :)
0 votos
@BenjaLim - Incluso para un universitario de primer año como yo puede entender este libro en mi respuesta, ¡intenta ver si eso te ayuda! Tal vez yo podría enviar por correo electrónico el pdf de estos libros para usted.