Acotar las partes fraccionarias del $p^{\text{th}}$ raíces de $n,n^2,...,n^{p-1}$

Question

EDIT (9 de agosto de 2021): Me gustaría hacer una pregunta más general. La pregunta original que fue respondida completamente está debajo de la línea.

Para un número real positivo $x$ denotan la parte fraccionaria $x-[x]$ de $x$ por $\langle x \rangle$ .

Dejemos que $\ell>0$ sea un número entero. Es

$$\Phi_{\ell} := \liminf_{n>0 \text{ not a } {\ell}^{\text{th}} \text{ power}} \ \sum_{k = 1}^{\ell^2} \left\langle n^{\frac{k}{\ell}}\right\rangle$$

¿Igual a cero?

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Fijar un primo $p$ . ¿Se sabe si

$$\Theta_p := \liminf_{n>0 \text{ not a } p^{\text{th}} \text{ power}} \ \sum_{k = 1}^{p-1} \left\langle n^{\frac{k}{p}}\right\rangle$$

¿es cero?

Answer 1

Dejemos que $n=m^p+1$ para un tamaño lo suficientemente grande $m$ . Para $0<k<p$ entonces tenemos $m^{kp}<n^k<m^{kp}+O(m^{(k-1)p})=m^{kp}(1+O(m^{-p}))$ Así que $$m^k<n^{k/p}<m^k(1+m^{-p})^{k/p}\leq m^k(1+O(m^{-p}))=m^k+o(1).$$ Por lo tanto, $\langle n^{k/p}\rangle=o(1)$ como $m\to 0$ para cada $0<k<p$ y, en particular, el $\liminf$ en su pregunta es cero.

El $\liminf$ en la pregunta editada también tiende a cero, aunque para ver esto ahora tenemos que considerar más términos de la expansión de Taylor. En concreto, elijamos de nuevo $n=m^\ell+1$ , donde ahora $m$ sea divisible por un número adecuado, que se especificará más adelante. Podemos suponer $\ell\nmid k$ y elegir $d$ tal que $d\ell<k<(d+1)\ell$ . Entonces tenemos $$n^{k/\ell}=m^k(1+m^{-\ell})^{k/\ell}=m^k(1+a_1m^{-\ell}+a_2m^{-2\ell}+\dots+a_d m^{-d\ell}+O(m^{-(d+1)\ell}))\\ =m^k+a_1m^{k-\ell}+a_2m^{k-2\ell}+\dots+a_d m^{k-d\ell}+O(m^{k-(d+1)\ell}),$$ donde $a_i$ son algunos números racionales. Si elegimos $m$ divisible por todos sus denominadores, entonces los términos hasta $a_d m^{k-d\ell}$ serán números enteros, y el $O(m^{k-(d+1)\ell})$ tenderá a cero ya que el exponente es negativo. Esto demuestra al menos que $n^{k/\ell}$ puede ser arbitrariamente cercano a un número entero. Para ver que la parte fraccionaria es pequeña también tenemos que ver que el término de error es positivo. Esto se deduce del hecho de que el coeficiente del siguiente término en la expansión de Taylor, $a_{d+1}m^{k-(d+1)\ell}$ tiene un coeficiente $$a_{d+1}=\binom{k/\ell}{d+1}=\frac{k/\ell(k/\ell-1)\dots(k/\ell-d)}{(d+1)!}$$ que es positivo por nuestra elección de $d$ .

El mismo argumento debería funcionar si se sustituye $\ell^2$ en la suma por cualquier constante (posiblemente dependiente de $\ell$ pero no $n$ ).